51、密码学函数：从格参数到高效哈希函数的探索

密码学函数：从格参数到高效哈希函数的探索

1. 格的平滑参数

格的平滑参数 $\eta_{\epsilon}(\Lambda)$ 是一个重要的概念。它实际上是一族由实数 $\epsilon$ 索引的参数，通常在考虑维度不断增加的格族 $\Lambda_n$ 时，$\epsilon(n)$ 是关于 $n$ 的某个固定可忽略函数。

平滑参数具有以下基本性质：
- 均匀分布特性 ：若 $s \geq \eta_{\epsilon}(\Lambda)$，向格 $\Lambda$ 添加分布为 $D_{s,c}$ 的高斯噪声，会得到一个在 $\mathbb{R}^n$ 上几乎均匀的分布。具体而言，对于任意 $n$ 维格 $L(B)$、向量 $c \in \mathbb{R}^n$ 以及参数 $s \geq \eta_{\epsilon}(\Lambda)$，$D_{s,c} \bmod P(B)$ 与 $P(B)$ 上的均匀分布的统计距离至多为 $\Delta(D_{s,c} \bmod P(B), U(P(B))) \leq \epsilon/2$。
- 与 $\lambda_n$ 的关系 ：平滑参数不会比 $\lambda_n$ 大太多，对于任意 $n$ 维格 $\Lambda$ 和正实数 $\epsilon > 0$，有 $\eta_{\epsilon}(\Lambda) \leq \sqrt{\frac{\ln(2n(1 + 1/\epsilon))}{\pi}} \cdot \lambda_n(\Lambda)$。特别地，当 $\epsilon = n^{-\log n}$ 时，$\eta_{\eps