32、多项式因式分解的范霍伊杰算法

多项式因式分解的范霍伊杰算法

一、引言

在计算机代数领域，高效地对多项式进行因式分解是一个经典问题。早期，汉斯·扎森豪斯（Hans Zassenhaus）在约40年前开发了一种算法，该算法在许多计算机代数系统中得到了广泛应用，直至2002年。虽然该算法在很多实例中表现良好，但在最坏情况下，其复杂度呈指数级。而在著名的LLL论文中，证明了可以在多项式时间内，基于多项式的次数和系数的（对数）大小对多项式进行因式分解。不过，尽管新的格基约化算法在理论和实践上都表现出色，但新的多项式因式分解方法并未在实际应用中得到广泛使用，因为对于大多数实际例子，扎森豪斯算法比基于LLL的新算法更高效。

直到2002年，马克·范霍伊杰（Mark van Hoeij）开发了一种新算法，在实际例子中，该算法比扎森豪斯算法高效得多。此算法同样基于LLL约化，但使用了与原始LLL论文不同类型的格。

二、扎森豪斯算法

2.1 算法前提

在介绍范霍伊杰算法之前，需要先了解扎森豪斯算法。可以假设给定的多项式是无平方因子的，因为多项式的多重因子会整除该多项式与其导数的最大公约数，而这个最大公约数可以使用欧几里得算法高效计算。不过，在特征为p的情况下需要小心，因为多项式的导数可能为0，例如$f(x)=x^p - t$，此时所有单项式都是p次幂，可以取p次根或交换t和x的角色。

2.2 算法步骤

1. 选择素数p ：对于一个无平方因子且首项系数为1的整系数多项式$f \in \mathbb{Z}[x]$，选择一个素数p，使得$f$模p没有多重因子，即选择不整除$f$判别式的素数。将$f$