26、随机图着色回溯算法分析

随机图着色回溯算法分析

1. 运动方程与着色条件

在随机图着色问题中，运动方程（3）在不出现矛盾的情况下是有效的。在算法执行过程中，1 - 色顶点的数量必须始终保持较少。显然，只要 $w_1(t) < 1$，1 - 色节点的创建速度足够慢，能够被着色并消除，不会积累。
- 当 $c < c_L ≈ 3.847$ 时，该条件不会被违反，算法无需回溯就能找到合适着色方案的概率为正。
- 当 $c_L < c < c_S$ 时，在 $t = t_d(c)$（取决于 $c$）时该条件被违反，1 - 色顶点开始积累，矛盾出现的概率增大，回溯开始起作用。

2. 大量回溯下的着色问题

对存在回溯的 DPLL 算法的分析最初是在随机 SAT 问题上进行的，3 - COL 问题在性质上与之相似。下面我们研究平均度为 $c$ 的随机图 $G$ 不可 3 - 着色（当 $c > c_S$ 时很可能出现这种情况）的平均复杂度。

2.1 从深度优先搜索到广度优先搜索：马尔可夫演化矩阵

在不可着色区域对 DPLL 进行概率分析是一项艰巨的任务，因为搜索树是一个复杂的顺序过程的输出。我们设想了一种不同的广度优先构建反驳树的方法，它能得到相同的完整树，并且可以进行数学分析。
- 并行生长过程 ：该过程是马尔可夫的，可以用一个依赖于实例的演化算子 $H$ 来编码。具体步骤如下：
- 引入一个 $4N$ 维向量空间 $V$，其中每个向量 $|S⟩$ 与 $N$ 个顶点的部分着色 $S = (s_1, s_2, …, s_N)$ 一一对应。
- 对于部分