15、复杂网络中的最优路径与聚类特性解析

复杂网络中的最优路径与聚类特性解析

1. 最优路径长度的概率分布

在强无序随机图中，最优路径问题是研究的重点之一。对于不同网络规模 (N = 2^{10}, 2^{11}, \cdots, 2^{17})，最优路径长度 (\ell_{opt}) 的缩放概率分布 (P(\ell_{opt})) 可以用麦克斯韦分布来拟合，其公式为：
[P(\ell_{opt}) = \frac{4\ell_{opt}^2 e^{-(\ell_{opt}/l_o)^2}}{\sqrt{\pi}l_o^3}]
其中 (l_o = \frac{\sqrt{\pi}\langle\ell_{opt}\rangle}{2}) 是 (\ell_{opt}) 最可能的值。从图中可以看出，该函数的曲线与数值结果吻合得很好，尤其是对于较大的 (N)。

此外，当将无序权重与图的节点相关联时，模拟结果显示其缩放规律与无序边的情况相同。值得注意的是，对于大的平均度 (\langle k \rangle \gg 2)，上述关于 (\ell_{opt}) 的结果实际上不依赖于随机图的平均度，即使对于完全图（(k = N - 1)）也是如此。

2. 最优路径上最大权重的概率分布

在强无序随机图中，最优路径上最大权重 (\tau_{max}) 或等价的最大随机数 (\epsilon_{max}) 的概率分布是另一个重要的研究方面。这个问题可以映射到具有对应度分布的凯莱树上的渗流问题，其中凯莱树的边以概率 (p) 导通。

假设从凯莱树的一个给定节点开始，不到达第 (n) 代后代的概率为 (Q_n)。对于一个出度为 2 的节点，不到达其第 (n) 代后代的概率 (Q_n(