8、关于PWIT复杂网络的研究

关于PWIT复杂网络的研究

1. 模型重参数化与极端情况

在MFSC模型中，虽然参数范围是 (0 < α, λ < ∞) ，但我们仅考虑使极限平均度有限的范围 (4,5) 。函数 (p(x)) 的定义可重写为：
- 低密度情况：(p(x) = αλe^{−λx}, 0 < x < ∞)
- 高密度情况：
[
p(x) =
\begin{cases}
1, & 0 < x ≤ η \
e^{−λ(x−η)}, & η < x < ∞
\end{cases}
]
其中，当 (αλ > 1) 时，重参数化 (η := λ^{−1} \log(αλ)) 。

在聚类的两个极端情况下，模型有不同的简化形式：
- 当 (α) 固定且较小时，模型类似于比例附着模型的变体。新到达的顶点有 (Poi(α)) 个出边，其终点的选择概率与 (1 +) 入度成正比。
- 当 (η) 固定且 (λ = ∞) 时，对于大的 (n) ，新到达的顶点 (v^ ) 随机选择 (Poi(η)) 个邻居 (v_j) ，创建边 ((v^ , v_j)) ，并复制每个现有边 ((v_j, w)) 为新边 ((v^*, w)) 。显然，前者极限下聚类系数 (\kappa_{cluster} = 0) ，后者极限下 (\kappa_{cluster} = 1) 。

2. 两个有用的计算

2.1 引理1

对于整数 (u ≥ 1) ，定义 (Z(u) = \sum_{i = 1}^