7、复杂网络模型的深入剖析

复杂网络模型的深入剖析

1. 局部统计指标

在复杂网络的研究中，有几个关键的局部统计指标。
- 三角形密度 ：参数 $\kappa_{cluster}$ 可对三角形密度进行整体衡量。更详细的描述由统计量 $C(k)$（$k \geq 2$）给出，其定义为：$C(k) = \frac{E(\text{包含随机度为 }k\text{ 的顶点的三角形数量})}{\binom{k}{2}}$。当 $k \to \infty$ 时，$C(k) \sim \frac{2\beta^2}{\beta - \beta^2} \times \frac{1}{k}$。
- 边的长度 ：模型具有“度量结构”，任意两个顶点间存在距离 $d_{metric}(v, w)$，每条边 $(v, w)$ 有实值长度 $d_{metric}(v, w)$，典型边的长度为随机变量 $L$，其概率密度函数为：$f(x) = \frac{1 - \alpha}{\alpha} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(i + 1)\Gamma(\alpha + 3)(-\lambda x)^i}{\Gamma(i + \alpha + 3)}$，$0 < x < \infty$。当 $x \to \infty$ 时，$f(x) = \exp(-(\lambda \pm o(1))x)$。在底层度量空间中，距典型顶点距离为 $x$ 内的顶点数量随 $e^x$ 增长，这表明顶点与第 $k$ 近邻有边相连的概率应与 $k^{-\lambda - 1}$ 成比例。
- 其他局部统计量 ：还有一些关