6、随机网络光谱分析与复杂网络模型研究

随机网络光谱分析与复杂网络模型研究

1 随机网络光谱分析

1.1 过渡矩阵特征值密度

研究人员对过渡矩阵 (P) 的特征值密度进行了深入分析。通过绘制相关图表，对比了多种不同类型的数据和模型结果。具体包括互联网数据（实心圆）、随机无标度网络模拟结果（空心方块）、从其他研究中提取的互联网光谱（星号）以及基于特定度分布 (P(k) = Ak^{-2.1})（(k \geq 4)，(P(2) = 0.4)，(P(3) = 0.12)）的计算结果（实线）。
此外，在排除死端顶点的情况下，研究了随机树状图的过渡矩阵光谱。对比了具有无标度度分布（(\gamma = 3)，最小度 (k_0 = 5)，(\langle k \rangle = 9.06)）的随机树状图（虚线）、经典随机图（点线）和 (k) - 正则贝塞尔晶格（(k = 9)，实线）的光谱。结果表明，在整个特征值范围内，这些光谱与 (k = 9) 的 (k) - 正则贝塞尔晶格光谱非常接近，这证实了死端顶点是导致互联网光谱出现凹陷的原因。

1.2 研究结论

• 光谱方程推导 ：研究了随机无关联树状复杂网络的邻接矩阵和过渡矩阵的光谱，推导出了描述随机树状图光谱的精确方程，并在有效介质方法的框架内提出了一种简单的近似解。
• 不满足维格纳定律 ：研究证实，无标度网络和经典随机图的光谱均不满足维格纳定律。
• 特征值密度尾部现象 ：稀疏随机矩阵特征值密度尾部的出现是一种普遍现象。经典随机图（埃尔德什 - 雷尼模型）的光谱尾部迅速下降，而无