11、深入探索参数曲面与OpenGL镶嵌技术

深入探索参数曲面与OpenGL镶嵌技术

1. 参数曲面基础

参数曲面在计算机图形学中有着广泛的应用，它能够高效地对各种复杂的3D对象进行建模。下面我们将详细介绍几种常见的参数曲面及其特性。

1.1 二次贝塞尔曲线

二次贝塞尔曲线由一组参数方程定义，使用三个二维空间中的控制点来确定特定的曲线形状。通过引入参数 ( t )（取值范围为 ([0, 1])），可以构建定义曲线的参数方程系统。具体步骤如下：
1. 在连接控制点 ( p_0 - p_1 ) 和 ( p_1 - p_2 ) 的线段上，根据参数 ( t ) 确定新的点 ( p_{01}(t) ) 和 ( p_{12}(t) )。
2. 连接 ( p_{01}(t) ) 和 ( p_{12}(t) )，在该线段上根据参数 ( t ) 确定点 ( P(t) )，该点即为曲线上的一点。
3. 收集不同 ( t ) 值对应的点 ( P(t) )，即可生成曲线。采样的 ( t ) 参数值越多，生成的点越多，曲线越平滑。

二次贝塞尔曲线的解析定义如下：
- 任意点 ( p ) 在连接两点 ( p_a ) 和 ( p_b ) 的线段上可表示为：( p(t) = (1 - t)p_a + tp_b )。
- 由此可得 ( p_{01}(t) = (1 - t)p_0 + tp_1 ) 和 ( p_{12}(t) = (1 - t)p_1 + tp_2 )。
- 连接 ( p_{01}(t) ) 和 ( p_{12}(t) ) 线段上的点 ( P(t) ) 为：( P(t) = (1 - t)p_{01}(t) + tp_{12}(t) )。
- 经过推