14、机器人正向运动学：基于连续螺旋的分析方法

机器人正向运动学：基于连续螺旋的分析方法

1. 连续螺旋运动

在机器人运动学中，连续螺旋运动是描述机器人连杆运动的重要概念。考虑两个连续关节的运动，分别由螺旋 $ \$1 $ 和 $ \$2 $ 表示。螺旋 $ \$1 $ 代表机器人第一个关节的运动，第一个连杆相对于固定的机器人基座，按照螺旋 $ \$1 $ 描述的运动方式移动；螺旋 $ \$2 $ 代表第二个关节的运动，第二个连杆相对于第一个连杆，按照螺旋 $ \$2 $ 描述的运动方式移动。

机器人第二个连杆的运动结果，可以看作是第一个连杆绕（或沿）第一个螺旋轴进行旋转（或平移）运动，接着第二个连杆绕（或沿）第二个运动螺旋轴进行旋转（或平移）运动的顺序运动。如果我们考虑第二个连杆上的一个刚性点，并通过连续运动测量其相对于固定参考系的位置，那么该运动结果可以通过相应变换矩阵的右乘得到：
[T_r = T_1 \cdot T_2]
其中，$ T_1 $ 是与螺旋 $ \$1 $ 相关的齐次变换矩阵，$ T_2 $ 是与螺旋 $ \$2 $ 相关的齐次变换矩阵。需要注意的是，空间中这种运动产生的变换 $ T_r $ 可以解释为螺旋 $ \$r $，它包含了刚体在空间中旋转运动的瞬时轴。

由于齐次变换矩阵的乘法不满足交换律，机器人连杆运动的顺序对这些矩阵的相乘顺序有影响，必须使用右乘。

对于具有 $ n $ 个自由度的机器人，其关节运动由连续螺旋 $ \$1, \$2, \cdots, \$n $ 表示。机器人的末端执行器由第 $ n $ 个连杆末端的点 $ E $ 表示。参考坐标系 $ {0} $ 固定在地面上，附着在机器人末端执行器上的坐标系表示为 $ {E} $。此时，上述关系可以扩展为