Educational Codeforces Round 7

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本文提供了几道算法竞赛题目的详细解答过程，包括不等数段查询、最优数列排列、蚂蚁路径分析及数列k次幂求和等问题。通过预处理、构造策略、图论分析及数学方法给出高效解决方案。

C. Not Equal on a Segment

预处理找到每个位置开始的最先出现的不同的数。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

int a[200010];
int diff[200010];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;

    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }

    diff[n]=n+1;
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        if(a[i]==a[i+1]){
            diff[i]=diff[i+1];
        }else{
            diff[i]=i+1;
        }
    }

    while(m--){
        int l,r,x;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
        if(a[l]!=x){
            printf("%d\n",l);
        }else{
            if(diff[l]<=r){
                printf("%d\n",diff[l]);
            }else{
                printf("-1\n");
            }
        }   
    }

    return 0;
}

D. Optimal Number Permutation

构造，只要相同的数距离恰当，总可以使得 $s=0$ 。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;


#define ll long long

int ans[1000010];

int main(){
    int n;
    cin>>n;

    if(n==1){
        cout<<"1 1"<<endl;
        return 0;
    }

    if(n==2){
        cout<<"1 1 2 2"<<endl;
        return 0;
    }

    int l=1;
    int r=n;
    int num=1;
    while(l<r){
        ans[l]=ans[r]=num;
        num+=2;
        l++;    r--;
    }

    l=n+1;
    r=2*n-1;
    num=2;
    while(l<r){
        ans[l]=ans[r]=num;
        num+=2;
        l++;    r--;
    }


    for(int i=1;i<=n*2;i++){
        if(ans[i]){
            printf("%d ",ans[i]);
        }else{
            printf("%d ",n);
        }
    }

    return 0;
}

通过分析可以发现，不妨让深度小的叶子比深度大的先回到根，这样不会影响答案。我们依次处理根的所有子树，把该子树下的所有叶子高度找出来，排序，按高度从小到大处理。假设排序后 $leaves(i)$ 是第 $i$ 个叶子的高度， $ans(i)$ 是考察到此叶子时的答案， $ans(i)=max(ans(i-1)+1,leaves(i))$ 总是成立的。从另一个角度， $ans$ 表明了路径会“阻塞”到什么时候。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 500010;

vector<int> adj[maxn];
bool vis[maxn];

int depth = 0;
int ans=0;

vector<int> leaves;

void dfs(int u){
    depth++;
    vis[u]=1;
    int sz = adj[u].size();
    bool flag=1;
    for(int i=0;i<sz;i++){
        int v=adj[u][i];
        if(vis[v])continue;
        dfs(v);
        flag=0;
    }
    if(flag){
        leaves.push_back(depth);
    }
    depth--;
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }

    int sz = adj[1].size();
    vis[1]=1;
    for(int i=0;i<sz;i++){
        int u = adj[1][i];
        leaves.clear();
        dfs(u);
        sort(leaves.begin(),leaves.end());
        int leanum = leaves.size();
        int tmp=0;
        for(int j=0;j<leanum;j++){
            tmp=max(tmp+1,leaves[j]);
        }
        ans=max(ans,tmp);
    }

    cout<<ans<<endl;

    return 0;
}

F. The Sum of the k-th Powers

看了官方题解，不得不说这题有点神。首先要知道一点，不管 $k$ 是多少，肯定有一个最高次为 $k+1$ 的公式（题目已经提示了）。然后 $i=k+2$ 的部分，是很容易用快速幂计算出来的，这个时候，我们可以用拉格朗日多项式得到一个通项公式（唯一的），然后计算第n项即可。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

const ll mod = 1e9+7;

ll mod_pow(ll a,ll n){
    ll re=1;
    while(n){
        if(n&1){
            re*=a;
            re%=mod;
        }
        a*=a;
        a%=mod;
        n>>=1;
    }
    return re;
}

ll y[1000010];

void ExEuclid(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &q){  
    if(b==0){  
        x=1;y=0;q=a;  
        return;  
    }  
    ExEuclid(b,a%b,y,x,q);  
    y-=x*(a/b);  
}

ll inv(ll num){  
    ll x,y,q;  
    ExEuclid(num,mod,x,y,q);  
    if(q==1)return (x+mod)%mod;  
}

int main(){
    ll n,k;
    cin>>n>>k;

    for(int i=1;i<=k+2;i++){
        y[i]=y[i-1]+mod_pow(i,k);
        y[i]%=mod;
    }

    if(n<=k+2){
        cout<<y[n]<<endl;
        return 0;
    }

    ll dividend=1;
    ll divisor=1;
    for(int i = 1;i<=k+2;i++){
        dividend *= (n-i);
        dividend %= mod;
    }
    for(int i=1;i<=k+1;i++){
        divisor *= i;
        divisor %= mod;
    }

    bool minus = !(k&1);

    ll ans = 0;
    for(int i=1;i<=k+2;i++){
        ll tmp = (dividend*inv(n-i))%mod * inv(divisor);
        tmp %= mod;

        tmp *= y[i];
        tmp %= mod;
        if(minus)tmp=-tmp;
        minus = !minus;

        ans += tmp;
        ans += mod;
        ans %= mod;

        divisor*=inv(k+2-i);
        divisor%=mod;
        divisor*=i;
        divisor%=mod;
    }

    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}