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最新推荐文章于 2021-03-04 14:40:58 发布

原创最新推荐文章于 2021-03-04 14:40:58 发布 · 473 阅读

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#最大流

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本文介绍了一个有趣的应用场景，即如何使用最大流算法（Dinic算法）解决一个关于卖猪问题的建模。通过构建特定的图模型，文章详细解释了如何处理顾客购买请求及其钥匙限制，从而帮助卖家最大化其收益。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：有m个猪圈，里面分别有一些猪，卖家没有猪圈钥匙。有n个客人来买猪，每个客人有ai把钥匙k1~kai，需求一定数量的猪bi。卖家知道每个客人到来的先后顺序，利用客人的钥匙打开相应的猪圈并卖猪，同时，卖家可以趁机重新安排开着的猪圈的猪的数量，客人走后猪圈会关闭。问卖家最多卖多少猪。

思路：最大流（dinic）。建图方法是，先为源到每个猪圈建一条边，容量是相应猪圈初始猪的头数。然后按时间顺序处理每个客人，每个客人是一个顶点，客人的每把钥匙能引一条边连向客人，容量为INF，边可能从猪圈引出，也可能从其他客人引出（只要那位客人是最后与相应猪圈有联系的，比如客人A打开猪圈x和猪圈y，客人B随后打开猪圈y，客人B就和猪圈x有联系，因为可以把x的猪安排到y内），这就处理了客人到来时间先后的问题，最后是每个客人到汇连边，容量是需要猪的数量，跑一遍最大流即可。

这种题目，如果是以前看到肯定会以为是dp。。最近突然对最大流有了点灵感，终于能把不是裸的最大流看出来了。不得不说这个模型真的很神奇。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<string>
using namespace std;

#define maxn 1200   
#define INF 1000000000   

int m,n;

struct Edge{    
    int u; int v;    
    int cap; int flow;    
    Edge(int u,int v,int c):u(u),v(v),cap(c),flow(0){}      
    Edge(){};    
};    
    
Edge edges[maxn*4];    
    
int ne;    
int head[maxn];    
int next[maxn*maxn];    

void init(){    
    memset(head,-1,sizeof(head));    
    ne=0;    
}    
    
int lv[maxn];    
bool bfs(int s,int t){    
    memset(lv,-1,sizeof(lv)); lv[s]=0;    
    queue<int> que; que.push(s);     
    while(!que.empty()){    
        int cur=que.front(); que.pop();    
        for(int i=head[cur];i!=-1;i=next[i]){    
            Edge& e=edges[i];    
            if(lv[e.v]!=-1)continue;    
            if(e.flow<e.cap){    
                lv[e.v]=lv[cur]+1;    
                que.push(e.v);    
            }    
        }    
        if(lv[t]!=-1)return 1;    
    }    
    return 0;    
}    
    
int cur[maxn];    
int dfs(int x,int a){    
    if(x==m+1||a==0)return a;    
    int re=0;    
    for(int& i=cur[x];i!=-1;i=next[i]){    
        Edge& e=edges[i];    
        int t;    
        if(lv[e.v]==(lv[x]+1)&& (t=dfs( e.v , min(a,e.cap-e.flow))) ){    
            edges[i].flow+=t;    
            edges[i^1].flow-=t;    
            re+=t;    
            a-=t;    
            if(a==0)break;    
        }    
    }    
    return re;    
}    

int maxflow(int s,int t){    
    int flow=0;    
    while(bfs(s,t)){    
        memcpy(cur,head,sizeof(head));    
        flow+=dfs(s,INF);
    }    
    return flow;    
}    
    
void addedge(int u,int v,int c){    
    edges[ne]=Edge(u,v,c);      
    next[ne]=head[u];    
    head[u]=ne;    
    ne++;  
    edges[ne]=Edge(v,u,0);    
    next[ne]=head[v];    
    head[v]=ne;    
    ne++;    
}

int q[maxn];

int main(){
	
	while(cin>>m>>n){
		init();
		
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int c;
			scanf("%d",&c);
			addedge(0,i,c);
			q[i]=i;
		}

		for(int i=1;i<=n;i++){
			int a,b;
			scanf("%d",&a);
			for(int j=1;j<=a;j++){
				int k;
				scanf("%d",&k);
				addedge(q[k],m+1+i,INF);
				q[k]=m+1+i;
			}
			scanf("%d",&b);
			addedge(m+1+i,m+1,b);
		}
		int ans=maxflow(0,m+1);
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}