UVa11762 Race to 1

        题意：给一个整数N，每次可以在不超过N的素数中等概率随机选择一个P，如果P是N的约数，N变为N/P，否则N不变。问N变到1的期望次数是多少。

        思路：首先筛法打表，把范围内的素数都记录下来。我们可以用动态规划记忆化搜索的方法求解（递推会超时）。显然，N=1的时候，结果为0（边界）。根据期望的定义，可以列出方程。其中p(j)是选择概率，i取遍所有不大于j的素数。

E(j)+=p(j)*(E(i)+1)  当j可以被i整除时

E(j)+=p(j)*(E(j)+1)  当j不能被i整除时

        最后求解这个方程算E(j)就是了。

        这题告诉我们有时候记忆化搜索比递推是要快的，因为只求解了需要求解的状态，而不是全部的状态。另外，白书上说，这个随机过程叫马尔可夫过程。

#include <iostream>           
#include <stdio.h>           
#include <cmath>           
#include <algorithm>           
#include <iomanip>           
#include <cstdlib>           
#include <string>           
#include <string.h>           
#include <vector>           
#include <queue>           
#include <stack>           
#include <map>         
#include <assert.h>
#include <set>         
#include <ctype.h>                
#define ll long long       
#define max3(a,b,c) max(a,max(b,c))       

using namespace std; 

#define maxn 10000001

bool vis[maxn];
int prime[maxn];
int cnt[maxn];
double dp[maxn];

double fun(int n){
	if(!n)return 0.0;
	if(dp[n]>0.000000001)return dp[n];
	double p=1.0/cnt[n];
	int k=0;
	double a=0.0;
	for(int j=0;j<cnt[n];j++){
		if((n%prime[j])==0){
			a+=(fun(n/prime[j])+1)*p;
			k++;
			
		}else{
		
		}
	}
	if(!k){
		dp[n]=a;
		return a;
	}
	double t=(k+0.0)/cnt[n];
	dp[n]=(a+1.0-t)/t;
	return dp[n];
}

int main(){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	vis[0]=vis[1]=1;
	
	for(int i=2;i<sqrt(maxn);i++){
		for(int j=i*i;j<maxn;j+=i){
			vis[j]=1;
		}
	}
	int k=0;
	for(int i=1;i<maxn;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[k++]=i;
			cnt[i]=k;
		}else{
			cnt[i]=cnt[i-1];
		}
	}
	
	int t;
	cin>>t;
	int cas=0;
	while(t--){
		cas++;
		int n;
		cin>>n;
		double ans=fun(n);
		printf("Case %d: %.10lf\n",cas,ans);
	}
	return 0;
}