10、正则化与核函数：理论与应用解析

正则化与核函数：理论与应用解析

1. 正则化在不同场景的应用

正则化在回归问题中起着关键作用，其解通常被选为再生核希尔伯特空间（RKHS）的一个元素。下面我们来看几个具体的例子。

1.1 支持向量回归（Support Vector Regression）

对于具有 $\epsilon$-不敏感损失的支持向量回归，我们有如下公式：
[
c\left(\left(x_{i}, y_{i}, f\left(x_{i}\right)\right) {i \in[m]}\right)=\frac{1}{m} \sum {i = 1}^{m}\left|y_{i}-f\left(x_{i}\right)\right| {\epsilon}
]
正则化项 $\Omega\left(|f|\right)=\lambda|f|^{2}$，其中 $\lambda>0$ 和 $\epsilon \geq 0$ 是固定参数，它们决定了正则化和对训练集拟合程度之间的权衡。此外，一个常数函数 $\varphi {1}(x)=1$ 被用作偏移量，并且该算法不对其进行正则化。

1.2 支持向量分类（Support Vector Classification）

在支持向量分类中，目标值 $y_{i} \in{-1, +1}$，我们使用软间隔损失函数得到：
[
c\left(\left(x_{i}, y_{i}, f\left(x_{i}\right)\right) {i}\right)=\frac{1}{m} \sum {i} \max