正则化技术：L1/L2范数、Dropout与早停法全维度解析

一、正则化理论基础与奥卡姆剃刀哲学

1.1 模型复杂度的辩证关系

奥卡姆剃刀原理指出"相同解释力的模型中应选择最简单的"，在机器学习中体现为通过约束模型复杂度提升泛化能力。正则化技术的核心目标是在偏差-方差权衡中寻找最优平衡点，其数学本质可描述为：
$$\underset{\theta }{\min }\left[J(\theta )+\alpha \Omega (\theta )\right]$$
其中$\Omega (\theta )$为复杂度惩罚项，$\alpha$控制正则化强度。

1.2 过拟合的数学表征

过拟合发生时，模型在训练集误差$E_{train}$与测试集误差$E_{test}$出现显著差异：
$$E_{test}\gg E_{train}$$
正则化通过约束参数空间或网络结构，缩小两者差距。实验表明，在MNIST数据集上，正则化技术平均可降低过拟合率23%-45%。

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二、参数范数惩罚：L1/L2正则化深度剖析

2.1 L1正则化（Lasso）的数学本质

目标函数：
$$J_{reg}(\theta )=J(\theta )+\alpha \sum _{i=1}^n|{\theta }_i|$$
优化特性：

• 菱形约束域顶点处产生稀疏解，实现特征选择
• 采用坐标下降法优化，迭代公式：
  $${\theta }_j^{}$$