11、含比例交易成本的对数最优投资组合选择策略

含比例交易成本的对数最优投资组合选择策略

1. 数学设定：含比例交易成本的投资

1.1 市场与资产表示

考虑一个由 $d$ 种资产组成的市场，市场随时间的演变由一系列市场向量 $s_1, s_2, \cdots \in R^d_+$ 表示，其中 $s_i = (s^{(1)}_i, \cdots, s^{(d)}_i)$，$s^{(j)}_i$ 表示第 $i$ 个交易期结束时第 $j$ 种资产的价格，且 $s^{(j)}_0 = 1$。

为应用时间序列分析的预测技术，将市场向量序列 ${s_i}$ 转换为回报向量序列 ${x_i}$，其中 $x_i = (x^{(1)} i, \cdots, x^{(d)}_i)$，且 $x^{(j)}_i = \frac{s^{(j)}_i}{s^{(j)} {i - 1}}$，这意味着 $x^{(j)}_i$ 表示在第 $i$ 个交易期结束时，对第 $j$ 种资产投资一单位资本所获得的金额。

1.2 投资组合向量

投资者在每个交易期开始时，可根据投资组合向量 $b = (b^{(1)}, \cdots, b^{(d)})^T$ 分散资本，$b^{(j)}$ 表示投资者投资于第 $j$ 种资产的资本比例。我们假设投资组合向量 $b$ 的分量非负，且 $\sum_{j = 1}^{d} b^{(j)} = 1$，这意味着投资策略是自融资的，且不考虑资本消耗（除特定情况），同时不允许卖空和保证金交易。

为便于分析，还做了一些简化假设：资产可任意分割，在任何给定交易期内，所有资产都能以当前价格无限量获取；投资者采用的策略不会影响市场行为。