12、带比例交易成本的对数最优投资组合选择策略

带比例交易成本的对数最优投资组合选择策略

1. 非平稳规则与定理基础

存在一种非平稳规则，它可被视为价值迭代与规则 1 的组合。有如下重要定理：
- 定理 3.2 ：在条件 (i)、(ii) 和 (iii) 下，若 $S’ n$ 表示使用投资组合 ${b’_n}$ 在第 $n$ 期的财富，则 $\lim {n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ln S’_n = W^ _c$ 几乎必然成立。
- 定理 3.1 相关 ：若 $S_n$ 表示使用任意投资组合 ${b_n}$ 在第 $n$ 期的财富，则 $\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ln S_n \leq W^ _c$ 几乎必然成立。

2. 考虑消费的投资组合选择

对于实数 $x$，用 $x^+$ 表示 $x$ 的正部分。假设在交易期 $n$ 结束时，有消费 $c_n \geq 0$。交易期 $n$ 的初始资本为 $S_{n - 1}$，则 $S_n = (S_{n - 1}\langle b_n, x_n\rangle - c_n)^+$。
若对于所有 $j = 1, \cdots, n$ 都有 $S_j > 0$，通过归纳法可证明：
$S_n = S_0\prod_{i = 1}^{n}\langle b_i, x_i\rangle - \sum_{k = 1}^{n}c_k\prod_{i = k + 1}^{n}\langle b_i, x_i\rangle$
此公式成