5、量子退火在离散投资组合优化中的应用

量子退火在离散投资组合优化中的应用

1. 二次无约束二进制优化（QUBO）概述

QUBO 无疑是量子退火的一个标志性应用案例。量子退火器基于二进制自旋变量运行，能方便地在二进制决策变量（由逻辑量子比特表示）和自旋变量之间进行映射。二次优化问题的目标函数仅含线性和二次项，这大大简化了模型，并使其能嵌入现有的量子退火硬件。无约束优化意味着，虽然 QUBO 允许指定必须满足的条件，但这些并非严格约束，违反约束会在 QUBO 目标函数中通过额外项进行惩罚，但仍可能找到违反指定约束的解。

许多重要的 NP 难组合优化问题都有 QUBO 形式，如离散投资组合优化问题。近年来，也有人尝试用经典方法解决离散投资组合优化问题，如 Vaezi 等人提出的背包问题公式化，以及 Anagnostopoulos 和 Mamanis 应用的遗传算法等进化搜索方法。

2. QUBO 原理

QUBO 代表的优化问题是，要在 N 个二进制变量 (q_1, \ldots, q_N) 的所有 (2^N) 种可能赋值中，最小化一个二次函数。该函数被称为成本函数，可表示为：
[L_{QUBO}(q) = \sum_{i=1}^{N} a_iq_i + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=i+1}^{N} b_{ij}q_iq_j]
其中 (q := (q_1, \ldots, q_N) \in {0, 1}^N) 表示 N 个二进制决策变量的赋值。

解决困难的 QUBO 实例，已知的经典算法需要指数时间。一些近似经典方法可降低计算成本，但快速发展的量子退火有望在最难的 QUBO 实例上实现显著加速，如 NP 难的离散投资组合优化问题。