19、多维立方体中随机点集高度的实验评估

多维立方体中随机点集高度的实验评估

在多维空间的研究中，对d维单位立方体中随机点集的最长链长度的渐近行为进行研究是一个重要的课题。本文将详细探讨如何有效计算和估计相关参数，解决传统方法在计算效率和内存使用上的问题。

1. 问题引入

设 $V_d = [0, 1]^d$ 为d维单位立方体，从该立方体上的均匀分布中独立选取 $n$ 个随机点 $x(1), x(2), …, x(n)$，这些点构成一个随机偏序集 $P_d(n)$，其偏序关系定义为：当且仅当对于所有的 $k = 1, …, d$，都有 $x_k(i) ≤ x_k(j)$ 时，$x(i) ≤ x(j)$。$P_d(n)$ 中最长链（全序子集）的元素个数称为 $P_d(n)$ 的高度，我们关注随机变量 $c_d(n) = H_d(n)/n^{1/d}$ 的渐近行为。

对于 $d = 2$ 的情况，该问题已经得到了广泛的研究，已知 $E[L_n]/\sqrt{n} → 2$。而对于多维情况，Bollobás和Winkler证明了 $c_d(n)$ 依概率收敛到一个常数 $c_d$（$d ≥ 0$），但除了 $c_2 = 2$ 之外，其他的 $c_d$ 目前还未知。使用蒙特卡罗模拟来估计 $d > 2$ 时的 $c_d$ 似乎是一种自然的方法，但实验发现，即使对于 $d = 3$，当 $n$ 达到 $10^9$ 时，$c_d(n)$ 的估计值仍未收敛。标准的动态规划算法计算最长链长度的时间复杂度为 $O(n^2)$，内存需求为 $O(n)$，对于 $n ≈ 10^{10}$ 进行足够数量的蒙特卡罗模拟是不可行的。

以下是不同维度下 $c_d$ 的估计值：
| d | cd |
| —