26、逼近理论与DCPO及域的交汇

逼近理论与DCPO及域的交汇

1. 逼近空间的拟度量反射

在某些情况下，我们可以计算逼近空间的拟度量反射。例如，对于定义的逼近空间 $(X, \delta_X)$，利用规范基 $H \circ \eta \times \eta$ 可以得到拟度量反射 $(X, q_X)$ 的表达式：
[
q_X(x, y) = \sup{q_K(\eta(x), \eta(y))|K \subseteq \gamma, \text{ 有限}} =
\begin{cases}
|((\eta(x))_0 \setminus (\eta(y))_0) \cup ((\eta(x))_1 \setminus (\eta(y))_1)|, & \text{若相关集合有限}\
\infty, & \text{否则}
\end{cases}
]
对于对称化 $q_X^*$ 的柯西序列 $(x_n)_n$，序列 $(\eta(x_n))_n$ 最终会变为常数。由于 $\eta$ 是单射，所以序列 $(x_n)_n$ 也会变为常数，因此 $q_X$ 是双完备的。

2. 任意域的量化

我们现在转向任意域，并开发一种构造量化逼近结构的技术。

2.1 命题

设 $(X, \leq)$ 是一个域，$B \subseteq X$ 是一个域基，$\sigma(X)$ 是斯科特拓扑。集合
[
H_B := {q_K^B | K \subseteq B, \text{ 有限}}
]
其中，对于所有 $x, y \in X$，
[