8、拓扑、度量与逼近空间：概念解析与范畴关系

拓扑、度量与逼近空间：概念解析与范畴关系

1. 拓扑与拟度量中的逼近概念比较

在拓扑（Top）和拟度量（qMet）领域中，存在着多种逼近概念。为了从概念层面理解这些概念的基本思想，下面通过表格进行对比：
| App 中的概念 | 基本拓扑类比 | 基本拟度量类比 |
| — | — | — |
| 距离 | 闭包算子 | 点 - 集距离 |
| F 的附着性 | F 的附着点 | liminf d(F, ·) |
| F 的极限 | F 的极限点 | lim sup d(F, ·) |
| 逼近系统 | 邻域 | 局部化拟度量 d(x, ·) |
| 规范 | 确定更粗拓扑的拟度量 | 小于 d 的拟度量 |
| 塔 | 闭包算子 | 扩张算子 |
| 下包络算子 | 下半连续正则化 | 非扩张正则化 |
| 下正则函数 | 下半连续框架 | P 值函数 |
| 上包络算子 | 上半连续正则化 | 非扩张正则化 |
| 上正则函数 | 上半连续框架 | P 值函数 |
| 收缩 | 连续映射 | 非扩张映射 |

这个表格并非用精确的数学术语描述这些不同的逼近概念，而是旨在揭示其背后的基本思想。其中，d 代表（拟）度量，F 代表滤子，x 是基础集合中的一个点。

2. 拓扑的超范畴

拓扑学中有许多范畴，其中拓扑（Top）以某种较好的方式作为全子范畴嵌入其中。部分范畴因其良好的范畴性质而被研究，例如预拓扑空间的范畴 PrTop 具有扩展性，伪拓扑空间的范畴 PsTop 是一个拟拓扑斯或拓扑宇宙。

不过，有些范畴专门