10、逼近不变量：可数性与完备性解析

逼近不变量：可数性与完备性解析

1. 逼近空间的收缩与扩张

当 $Y$ 是 $T_2$ 空间时，对于每个 $x \in X$，$F_0^A(x)$ 至多有一个点。此时，$\bigcap_{\alpha\in[0,\infty]} F_{\alpha}^A (x)$ 也至多有一个点，并且扩张 $g$ 将是唯一的。

有如下定理：设 $X$ 和 $Y$ 是逼近空间，其中 $Y$ 是正则且 $T_2$ 的。若 $A \subseteq X$ 是稠密的，且 $f : A \to Y$ 是一个收缩，则以下性质等价：
1. 存在唯一的收缩 $g : X \to Y$ 使得 $g| A = f$。
2. 对于每个 $x \in X$：$\bigcap {\alpha\in[0,\infty]} F_{\alpha}^A (x) \neq \varnothing$。

证明如下：
- 1 ⇒ 2：若 $f$ 有这样的扩张 $g$，对于 $x \in X$，有 $g(x) \in \bigcap_{\alpha\in[0,\infty]} F_{\alpha}^A (x)$。由 $A$ 的稠密性可知，对于任何 $\alpha \in [0, \infty]$，$H_{\alpha}^A (x) \neq \varnothing$。对于 $F \in H_{\alpha}^A (x)$，有 $A \in F$ 且 $\lambda_X(F)(x) \leq \alpha$。因此 $\lambda_Y g(F)(g(x)) \leq \alpha$，进而 $\lambda_Y f (F| A)(g(x)) = \lambda_Y g(F|_A)