13、指标分析：局部紧致性与连通性指标解析

指标分析：局部紧致性与连通性指标解析

1. 局部紧致性指标

1.1 定义

在拓扑空间中，局部紧致性可通过任意收敛滤子包含紧致集来刻画。对于逼近空间 (X) 和 (X) 上的滤子 (F)，定义 (\chi_c(F) := \inf_{F\in F} \chi_c(F))，(X) 的局部紧致性指标为：
(\chi_{lc}(X) := \sup_{F\in F(X)} (\chi_c(F) \ominus \inf_{x\in X} \lambda_F(x)))
若 (\chi_{lc}(X) = 0)，则称 (X) 是 0 - 局部紧致的。该指标也可写为：
(\chi_{lc}(X) = \min{c | \forall F \in F(X) : \chi_c(F) \leq \inf_{x\in X} \lambda_F(x) + c})

1.2 定理

对于任意逼近空间 (X)，设 ((V_{\theta}(x)) {\theta}) 为邻域塔，则有：
(\chi {lc}(X) = \sup_{U \in U(X)} (\chi_c(U) \ominus \inf_{x\in X} \lambda_U(x)) = \sup_{x\in X,\theta\geq0} (\chi_c(V_{\theta}(x)) \ominus \lambda_{V_{\theta}(x)}(x)) = \sup_{x\in X,\theta\geq0} (\chi_c(V_{\theta}(x)) \ominus \theta))
证明过程如下：
- 第一个等式：只需证明一个不等式。设 (F \in F