19、量子主丛中的量子联络：理论与性质

量子主丛中的量子联络：理论与性质

1. 引言

在现代经典微分几何理论中，联络是至关重要的部分，在当代物理学里，它以规范理论的形式独立发展起来。如今，这一概念也被引入到非交换几何中。接下来，我们将深入探讨量子联络的相关内容。

2. 量子联络的定义

设 $P$ 是具有微分演算的对象。量子联络的定义如下：
- 定义：一个线性映射 $\omega: \text{inv}^ \to \Omega^1(P)$ 被称为量子联络，若对于每一个 $\xi \in \text{inv}^ $，满足以下两个条件：
- $\omega(\xi^ ) = \omega(\xi)^ $ （式 12.32）
- $\Delta_{(P)}\left(\omega(\xi)\right) = (\omega \otimes \text{id}_A)\text{ad}(\xi) + 1_B \otimes \xi$ （式 12.33）
其中，$\text{ad}: \text{inv}^ \to \text{inv}^ \otimes A$ 是 $A$ 对 $\text{inv}^*$ 的右伴随余作用，$1_B$ 是 $B$ 中的单位元。

这两个条件各有其意义。条件（12.32）表明 $\omega$ 是一个 $ $-态射，但并非不可或缺。在经典理论中，向量空间通常基于实数域 $\mathbb{R}$，共轭运算相当于恒等映射。在当前理论中，若 $\xi^ = \xi$（自伴或实元素），则 $\omega(\xi) = \omega(\xi)^ $，即 $