21、量子主丛中的协变导数及其相关概念

量子主丛中的协变导数及其相关概念

1. 协变导数的定义与性质

1.1 非交换背景下的协变导数

在非交换的背景下，协变导数是对应于经典微分几何中协变导数的算子。但在这种更一般的情况下，协变导数不一定是局部算子。这是因为非交换几何的基本思想是不依赖点和局部结构来研究几何概念，而是通过无穷小结构（即微分演算）来进行研究，这可以被称为非交换分析。

1.2 协变导数的定义

设 $\omega$ 是具有微分演算的量子主丛（QPB）上的量子联络。对于每个 $\varphi \in \text{hor}^k(P)$，定义协变导数 $D_{\omega}$ 为：
[D_{\omega}(\varphi) := d_P \varphi - (-1)^k\varphi_{(0)}\omega(\Delta(\varphi_{(1)})) \in \Omega^{k + 1}(P)]
其中 $\hat{h}(\varphi) = \varphi_{(0)} \otimes \varphi_{(1)} \in \text{hor}^k(P) \otimes A$。

1.3 协变导数的性质

• 提升次数 ：$D_{\omega}$ 将次数提升 1，因为 $\varphi_{(0)} \in \text{hor}^k(P) \subseteq \Omega^k(P)$，$\omega(\Delta(\varphi_{(1)})) \in \Omega^1(P)$，且 $d_P \varphi \in \Omega^{k + 1}(P)$。