22、量子主丛：理论、实例与应用前景

量子主丛：理论、实例与应用前景

在非交换几何领域，量子主丛（QPB）是一个相对较新且具有广阔研究前景的课题。目前，该领域尚未完全发展成熟，存在多种不同的研究方法和定义，这些方法各有特点，也存在一些不相容之处。下面将详细介绍量子主丛的相关理论、实例以及当前研究中存在的一些问题和挑战。

1. 霍普夫代数态射与交换图证明

假设存在霍普夫代数的态射 (j: B \to A)，用 (ad_A) 和 (ad_B) 分别表示 (A) 和 (B) 自身的右伴随余作用。需要证明以下交换图成立：

B  --j-->  A
|         |
adB      adA
|         |
V         V
B ⊗ B --j ⊗ j--> A ⊗ A

这个练习的结果可以理解为右伴随余作用是一种自然变换，具体的解释留给读者自行思考。

2. 量子霍普夫丛实例

这是量子齐性丛的一个特殊例子，需要定义 ( * ) - 霍普夫代数 (A) 和 (B)，以及 ( * ) - 霍普夫代数的满态射 (j: B \to A)。
- 定义 (B = SU_q(2)) ：它是在第 11.6 节中定义的 ( * ) - 霍普夫代数，实际上是具有特定 ( * ) - 结构的 (SL_q(2))。作为 ( * ) - 代数，它由两个元素 (a) 和 (c) 生成，满足特定关系。其“群”结构用 (\Delta_0)、(\epsilon_0) 和 (S_0) 表示，具体公式如下：
- (\epsilon