7、协变一阶微分复形与同构通用一阶微分复形

协变一阶微分复形与同构通用一阶微分复形

1. 协变一阶微分复形（Covariant FODCs）

从图 (6.3) 出发，我们可以观察到一些重要的结果。假设 $\sum_{k} a_{k}d_{N}b_{k} = 0$，经过一系列推导：
[
\begin{align }
(id_{A} \otimes \delta_{N})(\hat{U}(\sum_{k} a_{k}\otimes b_{k}))&=(id_{A} \otimes \delta_{N})(\sum_{k} \Delta(a_{k})(id_{A} \otimes D)\Delta(b_{k}))\
&=\sum_{k} \Delta(a_{k})(id_{A} \otimes \delta_{N} D)\Delta(b_{k})\
&=\sum_{k} \Delta(a_{k})(id_{A} \otimes d_{N})\Delta(b_{k})
\end{align }
]
可以得出 $\sum_{k} \Delta(a_{k})(id_{A} \otimes d_{N})\Delta(b_{k}) = 0$。这就证明了 $(\Omega_{N}, d_{N})$ 是 $A$ 上的左协变一阶微分复形（FODC）。

对于右协变的情况，我们引入符号 $\hat{\Omega}$ 表示右协变 FODC 的右余作用，证明过程与左协变类似。

若 $(\Omega_{N}, d_{N})$ 既是左协变又是右协变的，左余作用 $\hat{\Omega} {N}$ 是 $U$ 中左余作用