6、协变双模范畴与一阶微分算子结构理论

协变双模范畴与一阶微分算子结构理论

在数学领域中，协变双模范畴和一阶微分算子（FODCs）的结构理论是非常重要的研究内容。本文将深入探讨这些概念，包括右协变双模范畴、双协变双模范畴以及协变一阶微分算子的相关理论。

1. 右协变双模范畴

对于右协变双模范畴，我们有如下定义和定理。
- 定义 ：设((\Omega, \hat{\Omega}))是(A)上的右协变双模范畴。若(\omega \in \Omega)满足(\hat{\Omega}(\omega) = \omega \otimes 1)，则称(\omega)是右不变的。我们用(\Omega_{inv})表示右不变元素的集合，即(\Omega_{inv} := {\omega \in \Omega | \hat{\Omega}(\omega) = \omega \otimes 1})，它显然是(\Omega)的一个向量子空间。
- 定理 ：设((\Omega, \hat{\Omega}))是(A)上的右协变双模范畴，({\sigma_i} {i\in J})是(\Omega {inv})的向量空间基。则有：
1. (\Omega)是以({\sigma_i} {i\in J})为基的自由左(A) - 模。
2. (\Omega)是以({\sigma_i} {i\in J})为基的自由右(A) - 模。
3. 存在线性泛函(g_{ij} \in A^0)（(A)的对偶空间），由以下方程唯一确定：
(\sigma_i b = \sum_{j \in J} (b \cdot g