43、格基密码学：概念、问题与算法解析

格基密码学：概念、问题与算法解析

1. 格的基本概念

1.1 格的定义

格可以定义为在具有周期性结构的 $n$ 维空间中的一组点，通过格的基向量生成。其数学描述如下：
$\Lambda(b)=\left{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}b_{i}:x_{i}\in Z\right}$
其中，$b_1…b_n$ 是基向量，也可表示为所有整数集 $Z$ 中向量 $x$ 的和（$\Sigma$）。

格由线性无关的向量组成。若一组向量中任意一个向量都能表示为其他向量的线性组合，则称这组向量线性相关；反之，则为线性无关。这些线性无关的向量构成了格的基础。

从群论角度看，对于实数集 $R^n$，格是 $R^n$ 中与整数群 $Z^n$ 同构的子群。子群的定义为：若 $G$ 是在某种运算下的群，$H$ 是 $G$ 的子集且在该运算下也构成群，则 $H$ 是 $G$ 的子群。例如，在加法运算下，整数群是有理数群的子群。

同构是指两个结构之间的一种映射，它能保持结构且可通过逆映射反转。同构的两个结构具有相同的性质，如实数加法群 $(R,+)$ 与正实数乘法群 $(R^+, \times)$ 同构。

1.2 向量空间

向量是一组值，这些值可以是实数、复数、整数等。满足向量加法和标量乘法封闭性的一组向量构成向量空间。具体而言，对于向量空间 $V$ 中的任意两个向量 $w$ 和 $v$ 以及标量 $\alpha$，需满足以下条件：
- 若 $v, w \in V$，则 $v + w \in V$。
- 若 $v \in V$ 且 $\alpha$ 为标量，则 $\al