21、根系与相关群论的深入解析

根系与相关群论的深入解析

1. 根系与凹室的基本性质

首先，我们定义集合 (C) 为 (E) 中满足对于所有 (i \in I) 有 ((\alpha_i, x) > 0) 且 ((\alpha, x) < 1) 的 (x) 的集合，集合 (C \cap P(K)) 由 (0) 和 (i \in J) 对应的 (w_i) 组成。设 (D) 是 (E) 中满足 ((\tilde{\alpha}, x) < 1) 的 (x) 的集合，定义 (C_1 = C’ \cap D)。由于 (0 \in C)，可得 (C \subseteq D) 进而 (C \subseteq C_1)。
对于任意 (\alpha \in R) 和 (k \in Z)，要证明集合 (C) 和 (C_1) 在超平面 (L_{\alpha,k}) 的同侧。当 (k = 0) 时，整个腔室 (C’) 在 (L_{0,0}) 的一侧；当 (k \neq 0) 时，不妨设 (k > 0)，因为 (0 \in C) 所以在 (C) 上有 ((\alpha, x) < k)，且 (\tilde{\alpha} - \alpha) 在 (C’) 上为正，对于 (y \in C_1) 有 ((\alpha, y) \leq (\tilde{\alpha}, y) < 1 \leq k)，从而 (C) 和 (C_1) 在 (L_{\alpha,k}) 的同侧，这就证明了 (C_1 \subseteq C)。
若 (w \in P(R^-))，则 (w = \sum p_i w_i)（(p_i \in Z)），(w \in C’) 当且仅当整数 (p_i) 为正，(w \in C’) 时 (w \in C) 当且仅