33、低秩矩阵和张量流形上的几何方法应用

低秩矩阵和张量流形上的几何方法应用

1. 矩阵方程求解

在控制和系统理论中，许多应用需要求解以下几类矩阵方程：
- Lyapunov方程 ：$AX + XA^T = C$
- Sylvester方程 ：$AX + XB = C$
- Riccati方程 ：$AX + XA^T + XBX = C$

这里，$A$、$B$、$C$ 是给定矩阵，$X$ 是未知矩阵。前两个方程是线性的，而Riccati方程是二次的。为简化起见，假设这些方程有唯一解。

在大规模应用中，矩阵 $X$ 通常是稠密且过大而难以存储。在某些条件下，可以证明 $X$ 具有快速衰减的奇异值，因此可以用低秩矩阵很好地近似。对于线性方程，可以直接尝试优化策略，最小化残差函数或能量范数误差。当 $A$ 和 $B$ 是对称正定矩阵时，最小化能量范数误差是更优的选择。

如果底层矩阵条件不佳，如离散化的偏微分方程（PDE），简单的黎曼梯度方案可能无效，需要对梯度步骤进行预处理或采用拟牛顿法。例如，对于Lyapunov方程，可以高效地求解流形 $M_k$ 上的高斯 - 牛顿方程。如果用牛顿法求解Riccati方程，每一步都需要求解一个Sylvester方程，而低秩近似可以通过在 $M_k$ 上进行优化来求解。

这些矩阵方程还有直接的时间相关版本。例如，微分Riccati方程为：
$\dot{X}(t) = AX(t) + X(t)A^T + G(t, X(t))$
$X(t_0) = X_0$
其中 $G(t, X(t)