30、低秩张量的TT分解及相关操作详解

低秩张量的TT分解及相关操作详解

1. μ - 正交TT分解

μ - 正交TT分解是一种重要的张量分解形式。对于给定的 μ，若一个TT分解满足特定条件，即对于 ν < μ，核心张量 Gν = Uν；Gμ(iμ) = Uμ(iμ)Sμ；对于 ν ≥ μ + 1，Gν = Vν，且满足相应的正交条件，就称其为X的μ - 正交TT分解。这种分解具有以下特点：
- 正交投影特性 ：它能为X⟨μ⟩的列空间和行空间提供正交投影 U≤μUT≤μ 和 V≥μ+1VT≥μ+1，以部分TT展开的形式呈现，便于应用于TT分解的张量。
- 计算效率 ：若已有TT分解的核心张量 G1, …, Gd，可通过从左到右或从右到左的扫描操作高效地得到μ - 正交分解。每次扫描步骤包含基本矩阵运算和QR分解，总计算复杂度为O(dnr4)。从μ - 正交分解转换到(μ + 1) - 或(μ - 1) - 正交分解，仅需一次这样的步骤，复杂度为O(nr4)。这里的成本与阶数d和模式大小nμ呈线性关系，与秩rμ呈四阶关系，实际应用中rμ的限制约为102到103，具体取决于计算能力。

TT张量分解在算法上的特点是采用扫描的概念，多数操作从左到右、再从右到左递归进行，且对TT核心的操作基于基本线性代数。构建分解或对给定分解进行正交化可通过仅涉及矩阵分解的从左到右扫描来实现。

2. TT - SVD和准最优秩截断

除了QR分解，还可以使用奇异值分解（SVD）来构建μ - 正交TT表示。通过SVD可得到 X⟨μ⟩ = U≤μ μVT≥μ+1，其中 μ 是对角矩阵，这实际上是X⟨μ⟩的SVD。使用SVD构建