3、双切连接（DCJ）排序与减半中的染色体重新整合问题

双切连接（DCJ）排序与减半中的染色体重新整合问题

一、引言

在生物进化过程中，基因组会经历大规模的突变，例如DNA片段可能会发生反转或移动到其他位置。在基因组重排问题中，我们的目标是找到一系列操作，将一个基因组转换为另一个基因组，并且使操作序列的长度最短。这样的操作序列可以解释基因组之间的差异，其长度也可用于估计进化距离。

双切连接（DCJ）操作是一种用于模拟基因组重排的模型，它可以统一地模拟大多数大规模突变事件，如反转、易位、融合和分裂。此外，通过两次DCJ操作，还可以模拟转座或块交换，即先提取染色体的一个合适片段，形成一个临时的环状染色体，然后将其重新插入到正确的位置。

现有的线性时间算法在解决排序和减半问题时，忽略了临时环状染色体创建后立即重新整合的约束。对于受限的排序问题，之前只有二次算法；而受限的减半问题则被认为是一个开放问题。本文提出了新的算法，分别在$O(n log n)$时间内解决排序问题，在$O(n^{3/2})$时间内解决减半问题。

二、基础知识

（一）基因组模型

在DCJ模型中，基因组$\Pi$和$\Gamma$由相同的标记（基因、同线块）集合组成。每个标记$g$有两个端点，称为末端，分别表示为$g-$和$g+$。每个末端$p$要么与另一个末端$q$相邻（染色体上的两个连续标记），要么是端粒（线性染色体的末端）。前者形成邻接$pq$，后者形成端粒邻接$p◦$。因此，基因组是一组邻接的集合，使得每个末端恰好位于一个（可能是端粒的）邻接中。

对于基因组$\Pi$，可以绘制一个基因组图$G_{\Pi}$，其中顶点是末端，边连接相邻的末端或同一标记的两个末端。该图中的每个顶点的