2、矩阵计算中的奇异值均化与特征值扰动界

矩阵计算中的奇异值均化与特征值扰动界

1. 奇异值均化

在矩阵计算中，线性逆问题 $Ax = z$ 的病态性可通过其关联矩阵的奇异值分解（SVD）$A = U\Sigma V^T$ 直接体现，具体表现为最大奇异值 $\sigma_{max}$ 与最小奇异值 $\sigma_{min}$ 的比值 $\sigma_{max}/\sigma_{min}$。当沿着相关的第一个和最后一个右奇异向量（或更一般地，沿着任意两个对应奇异值比值较大的右奇异向量）的数据发生变化时，仅会在主要左奇异向量方向上的测量值产生变化，这给在次要奇异向量方向上实现足够的精度带来了挑战。

从投影方法的角度来看，这种奇异向量上的冲突行为对应于投影到法向量高度对齐的超平面上，即任意两个这样的法向量的点积接近 1。

为了改善矩阵 $A$ 的条件数 $\kappa(A)$，我们引入奇异值均化（SVH）矩阵 $\Gamma$ 来直接操作其 SVD。通过适当选择 $\gamma_1, \cdots, \gamma_r$（其中 $r \leq \min{n, m}$ 是 $A$ 的秩），可以将奇异值设置为任意值。例如，可选择使得 $\Sigma\Gamma = \sigma_2 \cdot I$。

奇异值均化的算法步骤如下：
1. 步骤 0 ：给定 $f$ 和 $A$。
2. 步骤 1 ：计算 $A$ 的 SVD $A = U\Sigma V^T$，并选择 $\Gamma = diag(\gamma_1, \cdots, \gamma_m)$ 使得 $\Sigma\Gamma = \sigma_2 \cdot I