3、矩阵计算基础与广义奇异值问题的新迭代方法

矩阵计算基础与广义奇异值问题的新迭代方法

1. 奇异值扰动界

在矩阵计算中，为了简化讨论，我们主要考虑方阵。对于矩形矩阵的奇异值问题，通常可以通过添加零行或零列将其转化为方阵问题。

对于一个埃尔米特矩阵 (G)，我们总是用 (\lambda_1(G) \geq \lambda_2(G) \geq \cdots \geq \lambda_n(G)) 表示 (G) 的按降序排列的特征值。

下面是一些重要的引理和定理：
- 引理 3.1 ：如果 (A) 和 (B) 是埃尔米特矩阵，那么有相应的特征值关系。
- 引理 3.2 ：设 (f(t)) 是一个凸函数，有特定的不等式关系。
- 定理 3.3 ：设 (\sigma_i(A))、(\sigma_i(B)) 和 (\sigma_i(A - B)) 分别是复矩阵 (A = (a_{ij}))、(B = (b_{ij})) 和 (A - B) 的奇异值，则有：
- (\left(\sum_{i = 1}^{n}|\sigma_i(A) - \sigma_i(B)|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\sum_{i = 1}^{n}\sigma_i^p(A - B)\right)^{\frac{1}{p}})，其中 (1 \leq p \leq 2)。
- (\sum_{i = 1}^{n}|\sigma_i(A) - \sigma_i(B)|^q \leq \sum_{i = 1}^{n}\sigma_i^q(A - B))，其中 (0 <