26、对称特征值与奇异值问题的求解算法

对称特征值与奇异值问题的求解算法

在矩阵计算领域，求解对称矩阵的特征值和奇异值是一个重要的问题，本文将详细介绍几种相关的算法，包括雅可比算法、基于三对角化的算法等。

1. 雅可比算法

雅可比算法是一类用于求解矩阵特征值和奇异值的经典算法，下面将介绍几种不同的雅可比算法。

1.1 1JAC算法

1JAC算法主要用于矩形矩阵的奇异值分解，但在处理对称方阵的所有特征对时最为有效。当将1JAC算法应用于对称矩阵 $A \in R^{n×n}$ 时，得到的矩阵 $V \in R^{n×r}$ 的列是 $A$ 的非零特征值对应的特征向量。特征值 $\lambda_i$ 可以通过瑞利商 $\lambda_i = v_i^T A v_i$ 计算得到，且 $|\lambda_i| = \sigma_i$。$A$ 的零空间是由 $V$ 的列张成的子空间的正交补。

与2JAC算法相比，1JAC算法有两个优点：
- 不需要同时访问行和列。
- 不需要累积矩阵 $U$。

1.2 豪斯霍尔德 - 雅可比方案（QJAC算法）

对于稠密矩阵的奇异值分解，1JAC是一种可行的并行算法。但对于 $m \gg n$ 的矩阵 $A \in R^{m×n}$，可以先对 $A$ 进行正交分解 $A = QR$，其中 $Q \in R^{m×n}$ 是列正交矩阵，$R \in R^{n×n}$ 是上三角矩阵。然后对 $R$ 应用1JAC算法来获得奇异值分解。

QJAC算法的具体步骤如下：
1. 在 $p$ 个处理器上，应用混合正交分解方案得到 $A$ 的QR分解，即 $A = QR$。 <