15、数学与通信问题解答及圆锥曲线解析

数学与通信问题解答及圆锥曲线解析

1. 问题解答汇总

1.1 各章节部分问题答案

以下是不同章节部分问题的答案汇总：
|章节|问题|答案|
| ---- | ---- | ---- |
|第2章|2.5|11016 km|
|第2章|2.7|70.14°|
|第2章|2.9|No. 4 (a) 10367.17 n.mi; (b) 10580.99 n.mi; (c) 2.159.8 n.mi. No. 5 5948 n.mi No. 6 (b) 2148.5 n.mi; (c) 690.6 n.mi.|
|第3章|3.3|b = 76.3°|
|第3章|3.5|ΔE = 0; b = 76.3°|
|第4章|4.3|0.3 dB|
|第5章|5.9|Left hand elliptical|
|第6章|6.1|26.8 dBW|

1.2 第15章相关问题答案

• 15.5 ：40 kb/s
• 15.7 ：251.7 Mb/s
• 15.13 ：1904 kilobytes
• 15.15 ：0.327 s; 0.267 s

1.3 第16章相关问题答案

16.1

• (a) 22 at 148°, 10 unassigned; 30 at 166°, 2 unassigned; 27 at 157°, 5 unassigned; 32 at 119°, 110°, and 101°; 30 at 61.5°, 2 unassigned.
• (b) Continental 22; DBSC 22; DirecTV 54; Dominion 16; Echostar 24; Echostar/Directsat 44; MCI 28; TIC/Tempo 11; USSB 16; unassigned 19.

16.3

54 dBW

16.5

• 175°: DBSC 440 Mb/s; Echostar/Directsat 440 Mb/s
• 166°: Continental 440 Mb/s; Dominion 320 Mb/s; Echostar/Directsat 440 Mb/s
• 157°: DirecTV 1080 Mb/s
• 148°: Echostar 960 Mb/s; USSB 320 Mb/s
• 119°: Echostar/Directsat 840 Mb/s; TCI/Tempo 440 Mb/s
• 110°: Echostar/Directsat 40 Mb/s; MCI 1120 Mb/s; USSB 120 Mb/s
• 101°: DirecTV 1080 Mb/s; USSB 200 Mb/s
• 61.5°: Continental 440 Mb/s; DBSC 440 Mb/s; Dominion 320 Mb/s

2. 圆锥曲线解析

2.1 圆锥曲线基本概念

圆锥曲线是通过圆锥的截面得到的曲线。在截面平面与圆锥表面的交线上，根据平面的倾斜程度会产生多种不同形状的曲线，这些曲线通常被称为圆锥曲线。圆锥曲线的焦点具有特殊性质，即焦点到曲线上任意一点(P)的距离(SP)与点(P)到准线的平行距离(PQ)的比值为常数，这个常数称为离心率(e)，即(e = \frac{SP}{PQ})。根据离心率的值，圆锥曲线可分为以下几类：
|曲线|离心率(e)的取值|
| ---- | ---- |
|椭圆|(e < 1)|
|抛物线|(e = 1)|
|双曲线|(e > 1)|

这些曲线在很多情况下都会遇到，例如描述卫星绕地球的轨道、地球的椭球形状以及各种天线反射器的轮廓曲线等。

2.2 圆锥曲线的极坐标方程

以焦点为极点的圆锥曲线的极坐标方程可以用固定距离(p)（半通径）来表示。极坐标方程将点(P)与半径(r)和角度(\theta)联系起来。从相关推导可得极坐标方程为：
(r = \frac{p}{1 - e\cos\theta})
如果角度从(SA)测量，记为(\varphi)，且(\varphi = 180° + \theta)，则极坐标方程变为：
(r = \frac{p}{1 + e\cos\varphi})

2.3 椭圆

对于椭圆，(e < 1)。当(\theta = 0°)时，(r = \frac{p}{1 - e})（为最大值）；当(\theta = 90°)时，(r = p)；当(\theta = 180°)时，(r = \frac{p}{1 + e})（为最小值）。椭圆的长轴(AA’)的长度为(\frac{2p}{1 - e^2})，半长轴(a = \frac{AA’}{2})，半通径(p)与(a)和(e)的关系为(p = a(1 - e^2))。将其代入极坐标方程可得：
(r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos\varphi})

椭圆的半短轴(b)与(a)和(e)的关系为(b = a\sqrt{1 - e^2})。椭圆在以中心为原点的直角坐标系中的方程为：
(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1)

椭圆的面积为(A = \pi ab)。在卫星轨道计算中，根据开普勒第二定律，从近地点通过时刻(T)到任意时刻(t)所扫过的面积(A)与周期(T_p)的关系为(A = \pi ab\frac{t - T}{T_p})。同时，椭圆还存在一些重要的关系，如(M = E - e\sin E)（开普勒方程），其中(M)为平近点角，(E)为偏近点角。

椭圆反射器具有聚焦特性，从一个焦点发出的电磁辐射经反射后，所有反射波会以相同的传播时间到达另一个焦点，从而实现同相到达。这一特性在格雷戈里反射器天线中得到应用。

2.4 抛物线

对于抛物线，(e = 1)。设焦点到顶点的距离为(f)（焦距），则半通径(p = 2f)。抛物线的极坐标方程为：
(r = \frac{2f}{1 - \cos\theta})

在一些应用中，当已知抛物线反射器的直径(D)和相关角度时，可以通过以下关系进行计算：
(\frac{\rho}{f} = \sec^2\frac{\varphi}{2})
(\frac{f}{\rho_0} = \cos^2\frac{\varphi_0}{2})

如果已知抛物线反射器的直径(D)和深度(d)，可以通过以下公式计算焦距(f)：
(f = \frac{D^2}{16d})

以抛物线顶点为原点的直角坐标系中，抛物线的方程为(y^2 = 4fx)。

2.5 双曲线

对于双曲线，(e > 1)。双曲线的曲线不会像椭圆那样闭合，当(\cos\theta = \frac{1}{e})时，半径(r)趋于无穷大。通过设定相关参数和坐标原点，可以得到双曲线在直角坐标系中的方程为：
(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1)
其中(b^2 = a^2(e^2 - 1))。

双曲线的一个重要性质是两个焦点距离之差为常数，即(S’P - SP = 2a)。在一些应用中，如将抛物线反射器的焦点置于双曲线的焦点(S)，将主源置于焦点(S’)，可以利用双曲线和抛物线的特性进行分析。通过一系列推导，可以得到等效抛物线的焦距(f_e)与实际抛物线焦距(f)的关系为：
(f_e = \frac{e + 1}{e - 1}f)

以下是圆锥曲线相关计算的流程 mermaid 图：

graph LR
    A[确定曲线类型] --> B{判断离心率e}
    B -- e < 1 --> C[椭圆计算]
    B -- e = 1 --> D[抛物线计算]
    B -- e > 1 --> E[双曲线计算]
    C --> F[计算半长轴a、半短轴b等]
    D --> G[计算焦距f等]
    E --> H[计算a、b等参数]
    F --> I[计算椭圆相关性质]
    G --> J[计算抛物线相关性质]
    H --> K[计算双曲线相关性质]

3. 圆锥曲线性质总结与对比

3.1 圆锥曲线性质对比表格

为了更清晰地了解椭圆、抛物线和双曲线的性质差异，我们将它们的关键性质总结在以下表格中：
|曲线类型|离心率 (e) |极坐标方程|直角坐标方程|焦点性质|面积或相关特性|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|椭圆|(e < 1)|(r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos\varphi})|(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1)，(b = a\sqrt{1 - e^2})|两焦点到曲线上一点距离之和为定值 (2a)|面积 (A = \pi ab)，反射器有聚焦特性|
|抛物线|(e = 1)|(r = \frac{2f}{1 - \cos\theta})|(y^2 = 4fx)，(f) 为焦距|焦点到曲线上一点距离等于该点到准线距离|从焦点发出的射线反射后成平行光束|
|双曲线|(e > 1)|(r = \frac{p}{1 - e\cos\theta})|(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1)，(b^2 = a^2(e^2 - 1))|两焦点到曲线上一点距离之差为定值 (2a)|曲线不闭合，有渐近线|

3.2 圆锥曲线在实际应用中的选择

不同的圆锥曲线在实际应用中有着不同的优势，以下是根据应用场景选择合适圆锥曲线的分析：
- 卫星轨道 ：卫星绕地球的轨道通常是椭圆。这是因为椭圆轨道可以使卫星在不同的距离上运行，满足不同的观测和通信需求。例如，一些气象卫星的椭圆轨道可以使其在近地点获得更清晰的地球图像，在远地点扩大观测范围。
- 天线反射器 ：抛物线反射器常用于需要将信号聚焦或发射成平行光束的场景，如雷达天线和卫星通信天线。双曲线反射器则可与抛物线反射器结合使用，形成双反射器系统，以优化天线的性能。
- 光学系统 ：椭圆反射镜可用于聚焦光线，将光线从一个焦点反射到另一个焦点，常用于显微镜和望远镜等光学仪器中。

4. 圆锥曲线计算示例

4.1 椭圆计算示例

已知一个椭圆的半长轴 (a = 5)，离心率 (e = 0.3)，求：
1. 半通径 (p)
2. 当 (\varphi = 60°) 时的半径 (r)
3. 半短轴 (b)

步骤如下 ：
1. 计算半通径 (p)：
根据公式 (p = a(1 - e^2))，将 (a = 5)，(e = 0.3) 代入可得：
(p = 5\times(1 - 0.3^2)=5\times(1 - 0.09)=5\times0.91 = 4.55)
2. 计算当 (\varphi = 60°) 时的半径 (r)：
使用极坐标方程 (r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos\varphi})，将 (a = 5)，(e = 0.3)，(\varphi = 60°)（(\cos60° = 0.5)）代入可得：
(r = \frac{5\times(1 - 0.3^2)}{1 + 0.3\times0.5}=\frac{4.55}{1 + 0.15}=\frac{4.55}{1.15}\approx3.96)
3. 计算半短轴 (b)：
根据公式 (b = a\sqrt{1 - e^2})，将 (a = 5)，(e = 0.3) 代入可得：
(b = 5\times\sqrt{1 - 0.3^2}=5\times\sqrt{0.91}\approx5\times0.954 = 4.77)

4.2 抛物线计算示例

已知抛物线反射器的直径 (D = 2) 米，深度 (d = 0.2) 米，求：
1. 焦距 (f)
2. 当 (\varphi_0 = 30°) 时的 (\rho_0)

步骤如下 ：
1. 计算焦距 (f)：
根据公式 (f = \frac{D^2}{16d})，将 (D = 2) 米，(d = 0.2) 米代入可得：
(f = \frac{2^2}{16\times0.2}=\frac{4}{3.2}=1.25) 米
2. 计算当 (\varphi_0 = 30°) 时的 (\rho_0)：
根据公式 (\frac{f}{\rho_0} = \cos^2\frac{\varphi_0}{2})，将 (f = 1.25) 米，(\varphi_0 = 30°)（(\cos\frac{30°}{2}=\cos15°\approx0.966)）代入可得：
(\rho_0=\frac{f}{\cos^2\frac{\varphi_0}{2}}=\frac{1.25}{0.966^2}\approx\frac{1.25}{0.933}\approx1.34) 米

4.3 双曲线计算示例

已知双曲线的 (a = 3)，(e = 1.5)，求：
1. (b) 的值
2. 当 (x = 4) 时 (y) 的值

步骤如下 ：
1. 计算 (b) 的值：
根据公式 (b^2 = a^2(e^2 - 1))，将 (a = 3)，(e = 1.5) 代入可得：
(b^2 = 3^2\times(1.5^2 - 1)=9\times(2.25 - 1)=9\times1.25 = 11.25)
(b=\sqrt{11.25}\approx3.35)
2. 计算当 (x = 4) 时 (y) 的值：
根据双曲线方程 (\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1)，将 (x = 4)，(a = 3)，(b^2 = 11.25) 代入可得：
(\frac{4^2}{3^2} - \frac{y^2}{11.25} = 1)
(\frac{16}{9} - \frac{y^2}{11.25} = 1)
(\frac{y^2}{11.25}=\frac{16}{9}-1=\frac{7}{9})
(y^2 = 11.25\times\frac{7}{9}=8.75)
(y=\pm\sqrt{8.75}\approx\pm2.96)

5. 总结

圆锥曲线在数学和工程领域有着广泛的应用，包括卫星轨道、天线设计和光学系统等。通过对椭圆、抛物线和双曲线的性质分析和计算示例，我们可以更好地理解它们的特点和应用场景。在实际应用中，根据具体需求选择合适的圆锥曲线，并利用相关公式进行精确计算，是解决问题的关键。

以下是圆锥曲线计算的通用流程 mermaid 图：

graph LR
    A[输入曲线参数] --> B{判断曲线类型}
    B -- 椭圆 --> C[使用椭圆公式计算]
    B -- 抛物线 --> D[使用抛物线公式计算]
    B -- 双曲线 --> E[使用双曲线公式计算]
    C --> F[输出椭圆结果]
    D --> G[输出抛物线结果]
    E --> H[输出双曲线结果]

通过掌握圆锥曲线的基本概念、性质和计算方法，我们可以更好地应对各种与圆锥曲线相关的问题，为实际应用提供有力的支持。