线性代数-第9篇：二次型与正定矩阵：优化问题的数学基础

线性代数-第9篇：二次型与正定矩阵：优化问题的数学基础

在人工智能、量化投资和大数据分析中，优化问题无处不在，比如机器学习的损失函数最小化、量化投资组合的风险最小化等。而二次型与正定矩阵作为线性代数中的重要概念，为解决这些优化问题提供了坚实的数学基础。本篇将深入解析它们的原理及其在实际场景中的关键应用。

一、二次型：从向量到函数的桥梁

1. 定义与表达式

二次型是一个关于向量 $\mathbf{x}$ 的二次齐次函数，其一般形式为：
 f(x)=xTAx=∑i=1n∑j=1naijxixj\ f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x} = \sum_