5、线性代数中的病态问题与高斯消元法解析

线性代数中的病态问题与高斯消元法解析

在解决涉及众多线性方程的问题时，常常会遇到结果不准确的情况，这往往是由于在计算过程中使用了四舍五入技术而产生严重错误导致的，这种情况被称为病态问题。下面将详细介绍病态问题以及解决线性方程组的高斯消元法。

1. 行列式的计算

对于 3×3 矩阵，其行列式的计算方式如下：
[
\begin{align }
\left| M \right| &=
\begin{vmatrix}
x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} \
x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} \
x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3}
\end{vmatrix}\
&= x_{1,1} \cdot x_{2,2} \cdot x_{3,3} + x_{1,3} \cdot x_{2,1} \cdot x_{3,2} + x_{1,2} \cdot x_{2,3} \cdot x_{3,1} \
&- x_{1,3} \cdot x_{2,2} \cdot x_{3,1} - x_{1,2} \cdot x_{2,1} \cdot x_{3,3} - x_{1,1} \cdot x_{2,3} \cdot x_{3,2}
\end{align }
]
对于更高维度的矩阵，行列式可以通过以下公式计算：
[
\left| M \right| = \sum_{i,j,k,\cdots,r} (\pm) x_{i,1} \