21、线性代数方程与矩阵求解全解析

线性代数方程与矩阵求解全解析

1. 线性代数方程基础

在处理线性代数方程时，我们常常会遇到形如 $[A]{x} = {b}$ 的表达式。这里，${b}$ 是常数的列向量，其转置 ${b}^T = \lfloor b_1 \ b_2 \ b_3 \rfloor$；${x}$ 是未知量的列向量，转置为 ${x}^T = \lfloor x_1 \ x_2 \ x_3 \rfloor$。

从矩阵乘法的定义可知，当第一个矩阵 $[A]$ 的列数 $n$ 等于第二个矩阵 ${x}$ 的行数 $n$ 时，矩阵乘法 $[A]{x}$ 是有效的。为求解 ${x}$，一种正式的矩阵代数方法是在方程两边同时乘以 $[A]$ 的逆矩阵 $[A]^{-1}$，即：
[
[A]^{-1}[A]{x} = [A]^{-1}{b}
]
由于 $[A]^{-1}[A]$ 等于单位矩阵，方程可化简为 ${x} = [A]^{-1}{b}$。不过，这种方法在求解方程组时效率并不高，所以数值算法中通常会采用其他方法。

需要注意的是，当方程的数量（行数）多于未知量的数量（列数），即 $m > n$ 时，系统被称为超定系统，例如最小二乘法回归；反之，当方程数量少于未知量数量，即 $m < n$ 时，系统为欠定系统，数值优化就是典型例子。

2. 使用 MATLAB 求解线性代数方程

MATLAB 提供了两种直接求解线性代数方程组的方法：
- 左除运算符 ：这是最有效的方法，使用方式为 >> x = A\b 。
-