本文介绍了欧拉公式及其在复数表示中的应用，包括复数的模和幅角定义，复数的复指数表示法，复数乘幂的性质以及复数方根的解法，重点展示了DeMoivre公式和特殊情况下复数的根的计算。
前言
最近在做题的时候经常碰到复数的指数形式表达，之前没有怎么接触过。在这里做一个笔记，方便查阅。
推荐这篇博客：复数基本知识
一、欧拉公式
欧拉公式一直被认为是数学界最优美的公式，下面就来认识一下这个公式： e i θ = c o s θ + i s i n θ e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta eiθ=cosθ+isinθ
二、复数的复指数表示
1、复数的模与幅角
其中：
r
r
r是复数的模，
θ
\theta
θ表示复数的幅角。
将
a
+
b
i
a+bi
a+bi用模和幅角来表示就是：
a
+
b
i
=
r
c
o
s
θ
+
r
i
s
i
n
θ
=
r
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
=
r
e
i
θ
a+bi=rcos\theta+risin\theta=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta}
a+bi=rcosθ+risinθ=r(cosθ+isinθ)=reiθ
2、复数的复指数表示
由上面推导得到，任意一复数 z z z可表示为： z = r e i θ = r ( c o s θ + i s i n θ ) z=re^{i\theta}=r(cos\theta+isin\theta) z=reiθ=r(cosθ+isinθ)
3、复数的乘幂
z
n
=
(
r
e
i
θ
)
n
=
r
n
e
i
n
θ
=
r
n
(
c
o
s
n
θ
+
i
s
i
n
n
θ
)
z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta)
zn=(reiθ)n=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ)
特别地，当
∣
z
∣
=
1
|z|=1
∣z∣=1时，
z
n
=
c
o
s
n
θ
+
i
s
i
n
n
θ
z^n=cosn\theta+isinn\theta
zn=cosnθ+isinnθ推出著名的De Moivre公式：
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
n
=
c
o
s
n
θ
+
i
s
i
n
n
θ
(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
4、复数的方根
满足
w
n
=
z
w^n=z
wn=z，其中
z
z
z为已知复数，
w
=
z
n
w=\sqrt[n]{z}
w=nz为要求的根（也是复数）有以下解：
w
=
r
n
e
i
θ
+
2
k
π
n
w=\sqrt[n]{r} e^{i\frac{\theta +2k\pi }{n} }
w=nreinθ+2kπ
特别地,当
z
=
1
z=1
z=1时，变为
w
n
=
1
w^n=1
wn=1的解：
w
=
e
i
2
k
π
n
，
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
n
−
1
w=e^{i\frac{2k\pi }{n} }，k=0,1,2,...,n-1
w=ein2kπ，k=0,1,2,...,n−1
【注】：推导过程前言里面那篇推荐博客里面都有。
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