1.复指数信号

1.复指数信号

复指数信号

​​欧拉发现欧拉公式之后，人们开始注意到复指数信号。复指数信号作为基本信号进行频谱分析时使用复指数运算，比较简洁，很快取代了正弦信号的基本信号地位。欧拉公式号称最美公式，看之前也没有发现欧拉公式多么神奇，看了很多种解释，与物理相关的解释大概就是i代表了旋转90°。

欧拉公式

$$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$$

cos⁡θ+jsin⁡θ\cos\theta+j\sin\thetacosθ+jsinθ是一个复数，实部为cos⁡θ\cos\thetacosθ，虚部为sin⁡θ\sin\thetasinθ,在复平面上对应单位圆上的一个点。根据欧拉公式，这个点可以用复指数ejθe^{j\theta} ejθ表示，如图所示：

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具体的证明用泰勒级数证明，那么什么是泰勒级数？高数学习过，不过已经还给数学老师了，重要，重要的是知道欧拉公式是复平面上的点，着重说明复平面，y轴是虚轴。

如何理解复数？

通常用复平面的向量来表示复数。引入向量以后，可以用向量的旋转来理解复数。

复数与复指数ejθe^{j\theta}ejθ相乘，相当于复数对应的向量旋转角度θ\thetaθ：

数学中的虚数一般用“i”表示，为何物理中一般用“j”表示呢？这是因为物理中经常用“i”表示电流。

在欧拉公式中，令θ=π2\theta=\frac\pi2θ=2π​，得：

$$e^{j\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+j\sin\frac{\pi}{2}=j$$

即：j=ejπ2j=e^{j\frac{\pi}{2}}j=ej2π​

复数与jjj相乘，就是与复指数ejπ2e^{j\frac{\pi}{2}}ej2π​相乘，相当于复数对应的向量逆时针旋转90°。也就是说，复数与jjj相乘的过程，也就是向量旋转的过程，如图所示。

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不能局限于小时候所学的虚数得平方等于-1，这种认知已经深入到自己的观念里，要从观念里认识到，虚数存在的意义，以及虚数在数学、物理上的意义。虚数，或者复数，代表了旋转。

如何理解复信号？

当θ\theta θ以角速度ω0\omega_{0}ω0​随时间变化时，复指数ejθe^{j\theta}ejθ就成了复指数信号。

复指数信号：s(t)=Aej(ω0t+φ)s\left(t\right)=Ae^{j\left(\omega_{0}t+\varphi\right)}s(t)=Aej(ω0​t+φ)，其中，AAA是幅度，ω0\omega_{0}ω0​是角速度，φ\varphiφ是初相。

复平面上的一个长度为AAA的旋转向量，始端位于原点，从角度φ\varphiφ开始，以角速度ω0\omega_{0}ω0​围绕原点旋转，其末端在复平面上的轨迹就是复指数信号s(t)=Aej(ω0t+φ)s\left(t\right)=Ae^{j\left(\omega_{0}t+\varphi\right)}s(t)=Aej(ω0​t+φ)。

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复指数信号在三维空间是螺旋的变化轨迹，与电磁波的传输方式一致，也与极化方式有关，这些都是后话，但是当时学习的时候并不是特别清楚。

复信号的本质就是并行传输的2路实信号。之所以被称为复信号，只是因为这个信号可以用复数来表示而已。引入复信号只是为了便于描述和处理信号而已，实际通信系统中都是并行传输2路实信号，并没有传输虚数j。

醍醐灌顶，复信号在实际生活里并不存在，是并行传输的双路实信号，但是！电磁波正好是两个相互垂直的信号，一个电场一个磁场，所以用复信号来表示。

复指数信号的特性

1、对一个复指数信号做积分，当积分区间取复指数信号周期的整数倍时，积分结果为零。

复指数信号：s(t)=Aej(ω0t+φ)s\left(t\right)=Ae^{j\left(\omega_{0}t+\varphi\right)} s(t)=Aej(ω0​t+φ)

$$\int_{nT_0}s(t)\mathrm{d}t=A\int_{nT_0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega_0t+\varphi)}\mathrm{d}t=0$$

其中，nnn是整数，T0T_0T0​是复指数信号的周期。

2、正交特性

复指数信号集合{ejω0t,ej2ω0t,ej3ω0t,...}\{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_0t},\quad\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\omega_0t},\quad\mathrm{e}^{\mathrm{j}3\omega_0t},\quad...\}{ejω0​t,ej2ω0​t,ej3ω0​t,...}由基波ejω0te^{\mathrm{j\omega_0}t}ejω0​t和二次谐波ej2ω0e^j2\omega _0ej2ω0​等各次谐波组成。

在这个复指数信号集合中：任意1个复指数信号与另1个复指数信号共轭的乘积在基波周期内的积分结果都为0。

$$\int_{T_0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}m\omega_0t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_0t}\mathrm{d}t=0\quad\left(m\neq n\right)$$

任意1个复指数信号与自身共轭的乘积在基波周期内的积分结果都为T0T_0T0​。

$$\int_{T_0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}m\omega_0t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_0t}\mathrm{d}t=T_0\quad\left(m{=}n\right)$$

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