复变函数 | 基本知识 / 解析理论

注：本文为 “复变函数” 相关合辑。
略作重排，如有内容异常，请看原文。

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复变函数：复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数

你回到了你的家 于 2020-06-06 14:44:19 发布

实变函数（高等数学）主要内容

• 微积分（一元、二元、多元）
• 级数理论
• 常微分方程

复变函数

• 研究对象：自变量为复数的函数
• 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，具体为复数域上的微积分
• 主要内容：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等

一、复数基本知识

1.1 复数基本概念

对任意两个实数 $x$、$y$，称 $z=x+iy$ 或 $z=x+yi$ 为复数，其中 $i^2=-1$，$i$ 称为虚数单位。

• 复数 $z$ 的实部：$\text{Re}(z)=x$
• 复数 $z$ 的虚部：$\text{Im}(z)=y$
• 复数的模：$|z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge 0$
• 复数相等：
  设 $z_1=x_1+i{y}_1$，$z_2=x_2+i{y}_2$，
  则 $z_1=z_2⟺x_1=x_2$ 且 $y_1=y_2$
• 复数为零：$z=0⟺\text{Re}(z)=\text{Im}(z)=0$

注意：一般情况下，两个复数不能比较大小。

• 共轭复数：若 $z=x+iy$，则称 $\overline{z}=x-iy$ 为 $z$ 的共轭复数。

1.2 复数的几何表示

1.2.1 点表示法

复数 $z=x+iy$ 与复平面上的点 $P(x,y)$ 一一对应，即：
$$z=x+iy⟺\text{复平面上的点 }P(x,y)$$
复平面上的横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴。

1.2.2 向量表示法

复数 $z=x+iy$ 与向量 O P → = { x , y } \overrightarrow{OP} = \{x, y\} OP ={x,y} 一一对应，即：
z = x + i y    ⟺    O P → = { x , y } z = x + iy \iff \overrightarrow{OP} = \{x, y\} z=x+iy⟺OP ={x,y}
此时，复数的模等于该向量的长度，即 $|z|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2}$；
复数的幅角为该向量与正实轴之间的夹角，记为 $\text{Arg}z=(\overrightarrow{OP},x)$，且满足 $\tan (\text{Arg}z)=\frac{y}{x}$。

注意：

1. 当 $z=0$ 时，幅角无意义。
2. 幅角具有无穷多个值，满足 $\text{Arg}z=\theta ={\theta }_0+2k\pi$（其中 $k\in \mathbb{Z}$），将满足 $-\pi <{\theta }_0\le \pi$ 的 ${\theta }_0$ 称为幅角 $\text{Arg}z$ 的主值，记为 ${\theta }_0=\text{arg}z$。

1.2.3 三角表示法

对于非零复数 $z$，由 $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$$
其中 $r=|z|$，$\theta =\text{Arg}z$。

可得复数的三角表示式：
$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$

1.2.4 指数表示法

由欧拉公式（第二部分将详细介绍）$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$，可得非零复数 $z$ 的指数表示式：
$$z=r{e}^{i\theta }$$
其中 $r=|z|$，$\theta =\text{Arg}z$。

1.3 复数的乘幂与方根

1.3.1 复数的乘积与商

利用复数的三角表示或指数表示，可简化复数乘法与除法的运算，相关定理如下：

设 $z_1$、$z_2$ 为两个非零复数，其三角表示与指数表示分别为：
$$\begin{gathered} z_1=|z_1|(\cos \text{Arg}{z}_1+i\sin \text{Arg}{z}_1)=|z_1|e^{i\text{Arg}{z}_1} \\ {z}_2=|z_2|(\cos \text{Arg}{z}_2+i\sin \text{Arg}{z}_2)=|z_2|e^{i\text{Arg}{z}_2} \end{gathered}$$

则有：

1. 乘积运算：

   $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$，$\text{Arg}(z_1{z}_2)=\text{Arg}{z}_1+\text{Arg}{z}_2$

2. 商运算（$z_2\ne 0$）：

   $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$，$\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\text{Arg}{z}_1-\text{Arg}{z}_2$

乘法的几何意义：将复数 $z_1$ 对应的向量按逆时针方向旋转角度 $\text{Arg}(z_2)$，再将其长度伸缩到原来的 $|z_2|$ 倍，得到的新向量即为 $z_1{z}_2$ 对应的向量。

1.3.2 复数的乘幂

$n$ 个相同复数 $z$ 的乘积称为 $z$ 的 $n$ 次幂，记为 $z^n$。设 $z=r{e}^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )$，则：
$$z^n=z\cdot z\cdot \cdots \cdot z=r^n{e}^{in\theta }=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$$

特别地，当 $|z|=r=1$ 时，有：
$$z^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$
此时，$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$，该公式称为棣莫弗（De Moivre）公式。

定义 $z^{-n}=\frac{1}{z^n}$，则：
$$z^{-n}=r^{-n}{e}^{-in\theta }=r^{-n}(\cos (-n\theta )+i\sin (-n\theta ))$$

1.3.3 复数的方根

设 $z=r{e}^{i\theta }$ 为已知复数，$n$ 为正整数，称满足方程 $w^n=z$ 的所有 $w$ 值为 $z$ 的 $n$ 次方根，记为 $w=\sqrt[n]{z}$。

设 $w=\rho e^{i\phi }$，代入方程 $w^n=z$ 得 ${\rho }^n{e}^{in\phi }=r{e}^{i\theta }$，根据复数相等的条件可得：
$$\rho =\sqrt[n]{r}(\rho >0)$$
$$\phi =\frac{\theta +2k\pi }{n}(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )即(k\in \mathbb{Z})$$

因此，复数 $z$ 的 $n$ 次方根可表示为：
$$w=\sqrt[n]{r}{e}^{i\frac{\theta +2k\pi }{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}\right)$$

当 $k=0,1,2,\dots ,n-1$ 时，可得到 $n$ 个互不相等的根：

$$\begin{array}{rl}{w}_0& =r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \frac{\theta }{n}+i\sin \frac{\theta }{n}\right)\\ w_1& =r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \frac{\theta +2\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2\pi }{n}\right)\\ w_2& =r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \frac{\theta +4\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +4\pi }{n}\right)\\ & ⋮\\ w_{n-1}& =r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \frac{\theta +2(n-1)\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2(n-1)\pi }{n}\right)\end{array}$$

当 $k$ 取其他整数时，得到的根会与上述 $n$ 个根重复。

二、欧拉公式

令虚数单位 $i=\sqrt{-1}$，欧拉公式表述为：

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

2.1 欧拉公式的推导（基于泰勒展开）

欧拉公式的推导核心是利用指数函数、余弦函数与正弦函数的泰勒展开式，具体步骤如下：

1. 明确指数函数的泰勒展开式及变量替换

指数函数 $e^t$（$t\in \mathbb{R}$）的泰勒展开式为：

$$e^t=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{t^n}{n!}=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\frac{t^4}{4!}+\frac{t^5}{5!}+\dots$$

为推导复指数形式，令 $t=\text{i}x$（其中 $\text{i}$ 为虚数单位，满足 ${\text{i}}^2=-1$），将其代入上述展开式，得到 $e^{\text{i}x}$ 的泰勒展开式：

$$e^{\text{i}x}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(\text{i}x{)}^n}{n!}=1+\text{i}x+\frac{(\text{i}x{)}^2}{2!}+\frac{(\text{i}x{)}^3}{3!}+\frac{(\text{i}x{)}^4}{4!}+\frac{(\text{i}x{)}^5}{5!}+\dots$$

2. 利用虚数单位幂次性质化简展开式

根据虚数单位的幂次循环规律（${\text{i}}^2=-1$、${\text{i}}^3=-\text{i}$、${\text{i}}^4=1$、${\text{i}}^5=\text{i}$，周期为 4），对 $e^{\text{i}x}$ 的展开式逐项化简：
$$\begin{array}{rl}{e}^{\text{i}x}& =1+\text{i}x+\frac{({\text{i}}^2{x}^2)}{2!}+\frac{({\text{i}}^3{x}^3)}{3!}+\frac{({\text{i}}^4{x}^4)}{4!}+\frac{({\text{i}}^5{x}^5)}{5!}+\dots \\ & =1+\text{i}x-\frac{x^2}{2!}-\frac{\text{i}{x}^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{\text{i}{x}^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}+\dots \end{array}$$

3. 分离 $e^{\text{i}x}$ 展开式的实部与虚部

将化简后的 $e^{\text{i}x}$ 展开式按“不含 $\text{i}$ 的项（实部）”和“含 $\text{i}$ 的项（虚部）”分组分离：

$$e^{\text{i}x}=\underset{\text{实部}}{\underbrace{\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots \right)}}+\text{i}\cdot \underset{\text{虚部}}{\underbrace{\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots \right)}}$$

4. 引入余弦函数与正弦函数的泰勒展开式

根据泰勒级数理论，余弦函数 $\cos x$ 和正弦函数 $\sin x$ 的展开式分别为：

• 余弦函数（仅含偶次项，符号交替）：

  $$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$$

• 正弦函数（仅含奇次项，符号交替）：

  $$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$$

5. 联立展开式推导欧拉公式
对比步骤 3 中 $e^{\text{i}x}$ 的实部、虚部与步骤 4 中 $\cos x$、$\sin x$ 的展开式，可得：

• $e^{\text{i}x}$ 的实部等于 $\cos x$；
• $e^{\text{i}x}$ 的虚部等于 $\sin x$。

因此，联立后可推导出欧拉公式

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

2.2 欧拉公式的变形

由欧拉公式变量替换 $x\to -x$，可得其共轭形式：
$$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$$

将欧拉公式 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x$ 与上述变形公式联立，通过相加、相减可推导出正弦函数和余弦函数的复指数表示：

• 两式相减，消去余弦项：
  $${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}=2\mathrm{i}\sin x⟹\sin x=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$$

• 两式相加，消去正弦项：
  $${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}=2\cos x⟹\cos x=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2}$$

欧拉公式的变形建立了三角函数与复指数函数之间的深刻联系，是复变函数论、傅里叶分析等领域的基础工具。

三、复变函数的导数

3.1 导数的定义

定义

设函数 $w=f(z)$（$z\in D$），且 $z_0$、$z_0+\Delta z\in D$，如果极限 $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$ 存在，则称函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处可导。称此极限值为 $f(z)$ 在 $z_0$ 的导数，记作

$f^{\prime }(z_0)=\frac{dw}{dz}{|}_{z=z_0}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$。

如果 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可导，则称 $f(z)$ 在区域 $D$ 内可导。

(1) $\Delta z\to 0$ 是在平面区域上以任意方式趋于零。

(2) $z=x+iy$，$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，$\Delta f=f(z+\Delta z)-f(z)$

导数定义的应用示例

示例：证明 $f(z)=\text{Re}z$ 在复平面上的任意点均不可导

证明：
根据导数定义，计算差商：

$$\begin{array}{rl}\frac{\Delta f}{\Delta z}& =\frac{\text{Re}(z+\Delta z)-\text{Re}(z)}{\Delta z}\\ & =\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x+i\Delta y}\\ & =\frac{\Delta x}{\Delta x+i\Delta y}\end{array}$$

• 当 $\Delta z$ 沿实轴方向趋于 0 时（即 $\Delta y=0$，$\Delta x\to 0$）：
  $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta z}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$$

• 当 $\Delta z$ 取实数沿虚轴方向趋于 0 时（即 $\Delta x=0$，$\Delta y\to 0$）：
  $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta z}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{0}{i\Delta y}=0$$

由于 $\Delta z$ 取虚数以不同方式趋于 0 时，差商的极限不同，因此 ${\lim }_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta z}$ 不存在，即 $f(z)=\text{Re}z$ 在复平面上任意点均不可导。

注意：

1. $\Delta z\to 0$ 表示 $\Delta z$ 在复平面上以任意方式趋于 0，这与实函数中 $\Delta x\to 0$ 仅沿实轴方向趋于 0 有本质区别。
2. 设 $z=x+iy$，$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，则 $\Delta f=f(z+\Delta z)-f(z)$。

3.2 求导公式与法则（实函数求导法则的推广）

设 $f(z)$、$g(z)$ 均为可导函数，$c$ 为复常数，$n$ 为整数，则复变函数的求导公式与法则如下：

1. 常数的导数：

   $c^{\prime }=(a+ib{)}^{\prime }=0$

2. 幂函数的导数（$n$ 是自然数）：

   $(z^n{)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$

3. 和差的导数：

   $[f(z)\pm g(z){]}^{\prime }=f^{\prime }(z)\pm g^{\prime }(z)$

4. 乘积的导数：

   $[f(z)g(z){]}^{\prime }=f^{\prime }(z)g(z)+f(z)g^{\prime }(z)$

5. 商的导数（$g(z)\ne 0$）：

   ${\left(\frac{f(z)}{g(z)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(z)g(z)-f(z)g^{\prime }(z)}{g(z{)}^2}$

6. 复合函数的导数：

   $[f(g(z)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(z))g^{\prime }(z)$

7. 反函数的导数：

   ${\varphi }^{\prime }(w)=\frac{1}{f^{\prime }(z)}$

   其中 $w=f(z)$ 与 $z=\varphi (w)$ 互为单值的反函数，且 $f^{\prime }(z)\ne 0$。

导数存在性的判断示例

示例：判断函数 $f(z)=x+2yi$ 是否可导
解：

根据导数定义，计算极限：
$$\begin{array}{rl}\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}& =\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{x+\Delta x+2(y+\Delta y)i-(x+2yi)}{\Delta x+i\Delta y}\\ & =\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta x+2\Delta yi}{\Delta x+i\Delta y}\end{array}$$

• 当 $\Delta z$ 沿实轴方向趋于 0 时（$\Delta y=0$，$\Delta x\to 0$）：
  $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$$

• 当 $\Delta z$ 沿虚轴方向趋于 0 时（$\Delta x=0$，$\Delta y\to 0$）：
  $$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{2\Delta yi}{i\Delta y}=2$$

由于两种趋近方式下极限值不同，故 ${\lim }_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$ 不存在，即函数 $f(z)=x+2yi$ 在复平面上处处不可导。

示例：证明 $f(z)=z\text{Re}z$ 仅在 $z=0$ 处可导
证明：

1. 函数表达式：将 $z=x+iy$ 代入 $f(z)$，得
   $$f(z)=(x+iy)x=x^2+ixy$$
   即 $u(x,y)=x^2$，$v(x,y)=xy$。

2. 导数定义：根据导数定义，计算极限
   $$\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\frac{2x\Delta x+(\Delta x{)}^2+i(x\Delta y+y\Delta x+\Delta x\Delta y)}{\Delta x+i\Delta y}$$
   其中 $\Delta z=\Delta x+i\Delta y$

3. 情况分析：

   • 当 $z=0$ 时（即 $x=0$，$y=0$）：
     $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{(\Delta x{)}^2+i\Delta x\Delta y}{\Delta x+i\Delta y}$$
     沿实轴方向（$\Delta y=0$，$\Delta x\to 0$）：
     $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(\Delta x{)}^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta x=0$$
     沿虚轴方向（$\Delta x=0$，$\Delta y\to 0$）：
     $$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{0}{i\Delta y}=0$$
     因此，极限存在且等于 0，故 $f(z)$ 在 $z=0$ 处可导。

   • 当 $z\ne 0$ 时：
     $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{2x\Delta x+(\Delta x{)}^2+i(x\Delta y+y\Delta x+\Delta x\Delta y)}{\Delta x+i\Delta y}$$
     沿实轴方向（$\Delta y=0$，$\Delta x\to 0$）：
     $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2x\Delta x+(\Delta x{)}^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(2x+\Delta x)=2x$$
     沿虚轴方向（$\Delta x=0$，$\Delta y\to 0$）：
     $$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{iy\Delta y}{i\Delta y}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }y=y$$
     由于沿不同方向极限值不同，故极限不存在，因此 $f(z)$ 在 $z\ne 0$ 处不可导。

结论：$f(z)=z\text{Re}z$ 仅在 $z=0$ 处可导。

在复变函数中，$z\text{Re}z$ 表示复数 $z$ 与其实部的乘积。具体解释如下：

符号解释

• $\text{Re}z$：表示复数 $z$ 的实部，即 $\text{Re}(z)=x$。

• 从几何角度看，$z\text{Re}z$ 可以理解为复数 $z$ 在复平面上的点 $(x,y)$ 与其在实轴上的投影 $x$ 的乘积。

注意

复变函数在一点处可导的条件比实变函数更为严格。复变函数的导数要求极限
$$f^{\prime }(z_0)=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$
存在且与 $\Delta z$ 的趋近路径无关，而 $\Delta z$ 可以在复平面上以任意路径趋近于零。相比之下，实变函数的导数仅需考虑 $\Delta x$ 沿实轴趋近于零。

在高等数学（实变函数）中，构造一个“处处连续但处处不可导”的函数非常困难，通常需要复杂的分析技巧，如魏尔斯特拉斯函数。然而，在复变函数中，这样的函数却轻而易举。

3.3 可导与连续

定理
若函数 $w=f(z)$ 在点 $z_0$ 处可导，则 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处必连续。

证明

1. 依据可导性定义

   由 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，根据复变函数可导性定义，存在极限：
   $$f^{\prime }(z_0)=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$
   对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $0<|\Delta z|<\delta$ 时，满足：
   $$\left|\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}-f^{\prime }(z_0)\right|<\epsilon$$

2. 构造辅助函数 $\rho (\Delta z)$

   令：
   $$\rho (\Delta z)=\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}-f^{\prime }(z_0)$$
   得函数增量表达式：
   $$f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=f^{\prime }(z_0)\Delta z+\rho (\Delta z)\Delta z$$
   由可导性定义可知，${\lim }_{\Delta z\to 0}\rho (\Delta z)=0$。

3. 计算函数增量的极限

   需证 ${\lim }_{\Delta z\to 0}\left[f(z_0+\Delta z)-f(z_0)\right]=0$，将步骤 2 中表达式代入极限：
   $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\left[f(z_0+\Delta z)-f(z_0)\right]=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\left[f^{\prime }(z_0)\Delta z+\rho (\Delta z)\Delta z\right]$$

4. 分项分析极限

• 对第一项 $f^{\prime }(z_0)\Delta z$：

  因 $f^{\prime }(z_0)$ 为常数，由极限运算法则：
  $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(z_0)\Delta z=f^{\prime }(z_0)\cdot \underset{\Delta z\to 0}{\lim }\Delta z=f^{\prime }(z_0)\cdot 0=0$$

• 对第二项 $\rho (\Delta z)\Delta z$：

  已知 ${\lim }_{\Delta z\to 0}\rho (\Delta z)=0$ 且 ${\lim }_{\Delta z\to 0}\Delta z=0$，由极限乘积法则：
  $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\rho (\Delta z)\Delta z=\left(\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\rho (\Delta z)\right)\cdot \left(\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\Delta z\right)=0\cdot 0=0$$

5. 得出连续性结论

   结合步骤 4 的结果，由极限加法法则：
   $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\left[f(z_0+\Delta z)-f(z_0)\right]=0+0=0$$
   即：
   $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }f(z_0+\Delta z)=f(z_0)$$
   根据复变函数连续性定义，$f(z)$ 在点 $z_0$ 处连续。

注意：函数 $w=f(z)$ 在点 $z_0$ 处的可导性蕴含其在该点的连续性，即“可导必连续”。连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即函数在某点连续未必在该点可导（如示例 1 中的 $f(z)=\text{Re}z$ 处处连续但处处不可导）。

四、解析函数

4.1 解析函数的定义

• 若函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 及 $z_0$ 的某个邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析；
• 若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，或说 $f(z)$ 是 $D$ 内的解析函数（也叫全纯函数、正则函数）；
• 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，就称 $z_0$ 是 $f(z)$ 的奇点。

关键关系

• $w=f(z)$ 在 $D$ 内解析 $⟺$ $f(z)$ 在 $D$ 内可导（“$⟺$”表示“当且仅当”，即双向等价），因区域内每一点都有邻域包含于区域，故可导性与解析性一致）。
• 函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点可导，未必在 $z_0$ 解析（可导是“点”的局部性质，解析是“邻域”的整体性质，解析要求“点及其周围一小片区域都可导”，比“单点可导”要求更严格，需验证该点邻域内的可导性）。

示例

• $w=z^2$：在整个复平面处处可导，因此是整个复平面上的解析函数；
• $w=\frac{1}{z}$：除去 $z=0$ 点外，在整个复平面上解析（$z=0$ 是它的奇点）；
• $w=z\cdot \text{Re }z$：在整个复平面上处处不解析（见例 ）。

4.2 解析函数的运算法则（定理）

定理 1：解析函数的四则运算

设 $w=f(z)$ 与 $w=g(z)$ 均为区域 $D$ 内的解析函数，则：

1. $f(z)\pm g(z)$、$f(z)g(z)$ 均为区域 $D$ 内的解析函数。

2. $\frac{f(z)}{g(z)}$（当 $g(z)\ne 0$ 时）为区域 $D$ 内的解析函数（需除去 $g(z)=0$ 的点）。

推论：

• 多项式函数 $P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n$（其中 $a_0,a_1,\dots ,a_n$ 为复常数）在整个复平面内解析。
• 有理分式函数 $R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$（其中 $P(z)$、$Q(z)$ 为多项式函数，且 $Q(z)\ne 0$）在复平面内除分母 $Q(z)=0$ 的点外解析。

定理 2：解析函数的复合运算

设 $w=f(h)$ 在 $h$ 平面上的区域 $G$ 内解析，$h=g(z)$ 在 $z$ 平面上的区域 $D$ 内解析，且 $h=g(z)$ 的函数值集合 $\subset G$，则复合函数 $w=f[g(z)]$ 在区域 $D$ 内处处解析。

4.3 解析函数的充要条件

若复变函数 $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在定义域 $D$ 内处处可导，则 $w=f(z)$ 在 $D$ 内解析。

问题：如何判断复变函数的解析性？

解析函数的充要条件需结合柯西 - 黎曼（Cauchy - Riemann，简称 C - R）方程，具体判断步骤如下：

1. 拆分实部与虚部

   将复变函数 $f(z)$ 明确拆分为实部 $u(x,y)$ 和虚部 $v(x,y)$。

   示例：$f(z)=z^2=(x+iy{)}^2=x^2-y^2+i2xy$，其中实部 $u(x,y)=x^2-y^2$，虚部 $v(x,y)=2xy$。

2. 验证偏导数的存在性与连续性

   计算 $u$ 对 $x,y$ 的一阶偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}、\frac{\partial u}{\partial y}$，以及 $v$ 对 $x,y$ 的一阶偏导数 $\frac{\partial v}{\partial x}、\frac{\partial v}{\partial y}$，并确认这些偏导数在定义域 $D$ 内处处存在且连续（偏导数连续是实函数可微的充分条件，而复变函数可导需实部、虚部均满足可微性）。

3. 验证柯西 - 黎曼方程
   若上述偏导数存在且连续，进一步验证是否满足以下 C - R 方程：
   $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

• 若偏导数存在连续且满足 C - R 方程，则 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析；
• 若偏导数不满足“存在且连续”，或不满足任一 C - R 方程，则 $f(z)$ 在 $D$ 内不解析。

示例验证：对 $f(z)=z^2$

• 计算偏导数：$\frac{\partial u}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-2y$；$\frac{\partial v}{\partial x}=2y$，$\frac{\partial v}{\partial y}=2x$；
• 偏导数均为多项式，在复平面内处处存在且连续；
• 满足 C - R 方程：$\frac{\partial u}{\partial x}=2x=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-2y=-\frac{\partial v}{\partial x}$（因 $-\frac{\partial v}{\partial x}=-2y$）；
• 结论：$f(z)=z^2$ 在复平面内处处解析。

4.4 总结

1. 解析函数的定义

• 若复变函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的某邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析；
• 若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都解析，则称 $f(z)$ 是区域 $D$ 内的解析函数。

2. 柯西 - 黎曼方程的必要性

若 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内解析，则其虚部 $v(x,y)$ 与实部 $u(x,y)$ 在 $D$ 内必满足 C - R 方程：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

3. 解析函数的充要条件

复变函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件是同时满足以下两点：

1. 实部 $u(x,y)$ 与虚部 $v(x,y)$ 在 $D$ 内可微；
2. 实部 $u(x,y)$ 与虚部 $v(x,y)$ 在 $D$ 内满足 C - R 方程。

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复变函数

Carol0630 原创已于 2022-04-13 23:13:06 修改

前言

复变函数是从一个复数域到另一个复数域的映射关系。判断复变函数是否可导，需满足：$u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，且在该点满足柯西 - 黎曼方程。

解析函数是指复变函数在一个区域内处处可导的函数。复变函数在某一点的导数，可通过定义法计算，也可利用常见初等函数的导数公式以及导数的运算法则来求解。

柯西定理：若已知一复变函数的原函数，可对其进行积分运算。柯西定理表明，对于正向（逆时针方向）的封闭区域，若被积函数是解析的，则该函数沿此封闭区域边界的积分为零，即
$${\int }_{C}f(z)dz=0$$

柯西积分公式：当复变函数在封闭区域内解析时，该封闭区域内任一点 $z_0$ 处的函数值，由 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ 沿区域边界的积分所决定，即
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{f(z)dz}{z-z_0}$$

若一个函数在某点解析，那么它的各阶导函数在该点仍解析。设 $f(z)$ 在简单正向闭曲线 $C$ 及其所围区域 $D$ 内处处解析，$z_0$ 为 $D$ 内任一点，则有：
$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}{\int }_C\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz$$

由此可知，一般的解析初等函数能够展开为对应的泰勒级数，且部分函数可展开为含负幂次项的洛朗级数。

根据展开函数的级数在某一点或无穷远点处负幂次项的个数，可将奇点类型分为：可去奇点、极点、本性奇点。同时，依据留数定理，可求出对应展开级数中 $C_{-1}$ 项的系数，进而求出某封闭曲线上的积分。留数对一些特殊的定积分的计算也有作用。

复数

1. 复数的代数运算：

2. 复数四则运算的几何意义：

①两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。

②两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的幅角等于被除数与除数的幅角差。

③复数的加减：

3. 复数的幂乘和方根

①幂乘

②方根（这里 $w\ne 0$，$n\ge 2$）的复数 $w$ 为该方程的 $n$ 次方根

复变函数

复数域上初等函数的定义：

1. 指数函数

性质：$e^{z+2k\pi }=e^z$，故指数函数 $e^z$ 是一个以 $2\pi$ 为周期的周期函数。

故 $e^z$ 在复平面上处处可导，解析。

2. 对数函数

$z=e^w$

性质：$w$ 是 $z$ 的对数函数，记为 $w=\text{Ln}z$。其为多值函数。单值函数为多值函数 $\text{Ln}z$ 的主值，记作 $\ln z$。

3. 幂函数

4. 三角函数与反三角函数

①正弦与余弦函数

由上述定义，可容易地推出正弦函数和余弦函数的下述性质：

②其他三角函数

③反三角函数

5. 双曲函数与反双曲函数

导数

1. 复变函数极限

① 复变函数极限概念：

② 复变函数极限判断定理：

2. 复变函数的连续性

① 复变函数连续概念：

② 复变函数连续性定理：

3. 导数

① 定义：（可导必连续，连续不一定可导）

例 1 求 $z^n$ 的导数

例 2 证明

例 3 证明 $f(z)=|z{|}^2$ 的可导性

② 导数的运算法则：

③ 函数可导的充分必要条件：

4. 解析函数

① 定义：（区域内所有点可导）

由定义知，函数在区域 $D$ 内解析与在区域 $D$ 内可导是等价的。但函数在一点解析与在该点可导是绝对不等价的。前者比后者条件强得多，函数在某点解析意味着函数在该点及其某邻域内处处可导；而函数在某点可导，在该点邻域内函数也可能可导，也可能不可导。

②判断定理：

由导数的运算法则可知，在某区域上解析的函数经过加、减、乘、除（分母不为零）运算得到的函数在该区域上仍解析。两个及两个以上的解析函数经过有限次复合运算后得到的函数仍为解析函数。解析函数的单值反函数仍为解析函数。

5. 调和函数

积分

1. 积分的概念、性质、计算

将实数域上有关积分的概念、性质推广到复数域上。

1. 原函数：

2. 不定积分：

3. 常见公式：

4. 定积分：

定积分性质：

5. 计算：

2. 柯西定理及其推广

3. 柯西积分公式

定理：

推导前提：

4. 解析函数的导数

级数

1. 收敛序列和收敛级数

①收敛序列：

②收敛数项级数：

③函数项级数：

2. 幂级数

定义：

幂级数的收敛半径：

幂级数的和函数的性质：

在高等数学中，我们将一个具有 $n+1$ 阶导数的函数展为泰勒级数或麦克劳林级数。在下一节我们将解析函数（具有任意阶导数）展为泰勒级数或麦克劳林级数，也就是解析函数展为幂级数。

3. 泰勒级数

例 1

4. 洛朗级数

有些函数虽然不能表示为泰勒级数，但是却能用含有负指数幂的级数在某个圆环内表示，这种含有负指数幂的级数就是下面要讨论的洛朗级数。

留数

1. 解析函数的孤立奇点

1. 可去奇点、极点、本性奇点

分别对应罗朗展开式中无负次幂，只有有限个负次幂和无限个负次幂。

2. 零点定义

3. 解析函数在无穷远点的性质

2. 留数的一般理论

1. 留数的定义

2. 极点处留数的求法（既求拆开的对应 $c_{-1}$ 的系数）

3. 留数对定积分的计算

在高等数学以及实际问题中，常常需要求出一些定积分或广义积分的值，而这些积分中被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来，或即使可以求出原函数，计算也往往比较复杂。利用留数定理，要计算某些类型的定积分或广义积分，只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而把问题大大简化。下面通过具体例子，说明如何利用留数计算几种特殊类型的积分。

1. 含 $\sin x$，$\cos x$ 的有理分式积分

2.

3.

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via：

• 复变函数：复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数_复数模长的导数-优快云 博客
  https://blog.youkuaiyun.com/kking_edc/article/details/106583883

  • 复数与复平面解析 - 百度文库
    https://wenku.baidu.com/view/95266a772e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e29a.html
  • 复变函数基本初等函数 - 百度文库
    https://wenku.baidu.com/view/532c39681eb91a37f1115c77.html

• 复变函数与解析理论-优快云 博客
  https://blog.youkuaiyun.com/Carol0630/article/details/104260413

  • 保形映射 (共形映射)-科数网_
    https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=902

  • 解析函数的物理意义及其应用 - 道客巴巴
    https://www.doc88.com/p-8149740318664.html