复指数函数

最新推荐文章于 2025-02-07 15:31:26 发布

JN_W

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转自维基百科

计算复数 z 的 exp(z)

非常直接的给出公式

$e^{x + yi} = e^xe^{yi} = e^x(\cos(y) + i \sin(y)) = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y). \,$

注意给三角函数的参数 y 是实数。

[编辑]计算复数 a 和 b 的 a^b

直接给出公式:

如果 a = x + yi 且 b = u + vi，先把 a 转换到极坐标，需要找到满足如下条件的 $\theta$ 和 $r$ :

$re^{{\theta}i} = r\cos\theta + i r\sin\theta = a = x + yi \,$

或

$x = r\cos\theta \,$ 且 $y = r\sin\theta \,$

所以， $x^2 + y^2 = r^2 \,$ 或 $r = \sqrt{x^2 + y^2} \,$ 而且 $\tan\theta = \frac{y}{x} \,$ 或 $\theta = arctan2(y,x) \,$ 。

现在我们有:

$a = re^{{\theta}i} = e^{\ln(r) + {\theta}i} \,$

所以:

$a^b = (e^{\ln(r) + {\theta}i})^{u + vi} = e^{(\ln(r) + {\theta}i)(u + vi)} \,$

指数因此是两个复数值的简单乘积生成复数结果，它可以接着通过如下公式转换回到正规的笛卡尔坐标:

$e^{p + qi} = e^p(\cos(q) + i\sin(q)) = e^p\cos(q) + ie^p\sin(q) \,$

这里的 p 是乘法的实部:

$p = u\ln(r) - v\theta \,$

而 q 是乘法的虚部:

$q = v\ln(r) + u\theta \,$

注意在这些计算中所有 $x, y, u, v, r,$ $\theta$ , $p$ 和 $q$ 都是实数值。 $a^b \,$ 的结果因此是 $p + qi \,$ 。

还要注意因为我们计算和使用了 $\ln(r) \,$ 而不是 r 自身，你不需要计算平方根。转而简单的计算 $\ln(r) = \frac12\ln(x^2 + y^2) \,$ 。预防潜在的上溢出并尽可能在计算 $x^2 + y^2 \,$ 之前通过适当的 2 幂按比例缩减 x 和 y，如果 $x$ 和 $y$ 太大就会上溢出。如果你有下溢出的危险，在计算平方和之前通过适当的 2 的幂按比例增加它们。在任何一个情况下，你可以接着得到按比例缩放版本的 $x$ 称为 $x' \,$ ，和按比例缩放版本的 $y$ 称为 $y' \,$ ，因此得到:

$x = x'2^s \,$ 和 $y = y'2^s \,$

这里的 $2^s \,$ 是缩放因子。

接着得到 $\ln(r) = \frac12(\ln(x'^2 + y'^2) + s) \,$ 这里的 $x' \,$ 和 $y'\,$ 被缩放了使得平方和不上溢出或下溢出。如果 $x$ 是非常大而 $y$ 是非常小，因而不能找到这样一个缩放因子，你就会上溢出所以这个和本质上等于 $x^2 \,$ ，因为 y 被忽略了，因此你在这种情况下得到了 $r = |x| \,$ 和 $\ln(r) = \ln(|x|) \,$ 。同样情况出现在 $x$ 非常小而 $y$ 非常大的时候。如果两个都非常小或都非常大就可以找到前面提到的缩放因子。