17、数值方法在积分方程与辐射传输方程中的应用

数值方法在积分方程与辐射传输方程中的应用

在科学与工程领域，积分方程和辐射传输方程的求解是非常重要的问题。本文将介绍两种数值方法，分别用于求解Volterra积分方程和广义Fokker - Planck方程，这两种方法都有其独特的优势和应用场景。

一、Chebyshev谱配置法求解Volterra积分方程

Volterra积分方程（VIEs）在物理和其他领域的许多问题中都会出现，例如天体物理学中的粒子输运问题、位势理论和Dirichlet问题、静电学和辐射热传递问题等。目前已经存在许多求解VIEs的数值方法，如配置法、乘积积分法等。

为了获得谱精度并进行理论分析，前人提出了多种谱方法，如Legendre谱配置法、Jacobi谱配置法和Legendre谱Galerkin法等。本文提出了一种Chebyshev谱配置法来求解第二类VIEs。该方法的最大优势在于只使用了Chebyshev高斯点和Chebyshev权重，这些点和权重可以轻松准确地获得，从而避免了Legendre高斯点和Legendre权重的复杂计算。

1. 问题描述

考虑如下形式的VIEs：
[y(\tau) = f(\tau) + \int_{0}^{\tau} R(\tau, \xi)y(\xi)d\xi, \tau \in [0, T]]
其中未知函数(y(\tau))定义在([0, T])上，(T < +\infty)，且给定函数满足(f(\tau) \in C^m([0, T]))，(R(\tau, \xi) \in C^m(\Omega))，(m \geq 1)，(\Omega := {(\tau, \xi) : 0 \leq \xi \le