8、有限元与积分方程方法在电磁问题中的应用

有限元与积分方程方法在电磁问题中的应用

1. 有限元方法中的边界条件应用

在有限元分析中，边界条件是一个关键因素。常见的边界条件类型有三种，分别是齐次狄利克雷条件（$\phi = 0$）、非齐次狄利克雷条件（$\phi =$ 规定值）和齐次诺伊曼条件（$d\phi /dn = 0$）。

1.1 带状线TEM模式分析示例

为了说明这些边界条件的混合应用，我们考虑带状线的TEM模式分析。带状线的横截面是一个矩形导电带，位于矩形空心导体的中心。在任何频率下，TEM模式的电场 $E$ 和磁场 $H$ 可以表示为 $\exp { j(\omega t - kz)}$ 乘以与横截面相关的静电或静磁场。由于 $E$ 和 $H$ 满足 $E = Z_{0} \hat{u}_{z} \times H$，所以我们只需要知道相关的静电或静磁场即可。

这里我们考虑静电问题，要求周围金属盒的电位为 0，中心导电带的电位为 1。在使用有限元方法求解这个问题时，我们采用变分形式：
[J(\phi) = \iint (\nabla\phi)^2 dS]
这个变分形式对应的欧拉方程是静电学中的拉普拉斯方程。

1.2 边界条件的处理

1.2.1 狄利克雷边界条件

狄利克雷边界条件比较容易处理。假设我们将一阶单元分布在整个区域，并以 18 个节点组装全局矩阵。我们只需将节点值 $U$ 设置为：
- 在节点 1、2、3、4、5、10、15、18 处，$U = 0.0$
- 在节点 11、12、13、16 处，$U = 1.0$

1.2.2 诺伊曼边界条件