Lecture 003-LP geometry

Outline •Terminologies •Background knowledge

•Implicit function theorem—隐函数定理

•Resolution theorem—多面体集的表示定理

•LP Fundamental theorem—LP 基本定理

•Graphical method

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•Resolution/Representation theorem •这个定理是把bounded and unbounded两种情况下极值点的使用给综合起来了。•V是P中的所有极值点组合，是有限个的，那么P中的任意点x都可以用极值点的凸组合加上极值方向来表示。•定理的两个推论 •推论1：如果P的有界的多面体，P中的任意点x都可以表达成它的极值点的凸组合 •推论2：如果P是非空的，P有至少1个极值点

•基本定理Fundamental Theorem •For a standard form LP, if its feasibledomain P is nonempty, then the optimal objective value of z=c^T x over P is either unbounded below, or itis attained at (at least) an extreme point of P. •直观理解就是标准的LP问题，如果可行域P非空(bounded or unbounded)，那么最优值要么是负无穷，要么落在某个极值点上。

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•图形法在几何上看起来很容易，但是代数运算上很难。

•How many vertices are there?

•How to identify each vertex?

•Simplex method就是为了解决这个问题而产生的。•Simplex method能