Lecture 003-LP geometry

最新推荐文章于 2024-03-11 20:48:43 发布

Wooden_ZHANG

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分类专栏：运筹优化原理与实践文章标签：几何学线性代数算法

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本文概述了隐函数定理、多面体集表示定理、LP基本定理等内容，重点讲解了如何将极值点理论与有界与无界情况相结合，以及Simplex方法在管理极值点和生成可行解集上的作用。同时介绍了图形法的直观性与代数运算的挑战。

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Outline •Terminologies •Background knowledge

•Implicit function theorem—隐函数定理

•Resolution theorem—多面体集的表示定理

•LP Fundamental theorem—LP 基本定理

•Graphical method

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•Resolution/Representation theorem •这个定理是把bounded and unbounded两种情况下极值点的使用给综合起来了。•V是P中的所有极值点组合，是有限个的，那么P中的任意点x都可以用极值点的凸组合加上极值方向来表示。•定理的两个推论 •推论1：如果P的有界的多面体，P中的任意点x都可以表达成它的极值点的凸组合 •推论2：如果P是非空的，P有至少1个极值点

•基本定理Fundamental Theorem •For a standard form LP, if its feasibledomain P is nonempty, then the optimal objective value of z=c^T x over P is either unbounded below, or itis attained at (at least) an extreme point of P. •直观理解就是标准的LP问题，如果可行域P非空(bounded or unbounded)，那么最优值要么是负无穷，要么落在某个极值点上。

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•图形法在几何上看起来很容易，但是代数运算上很难。

•How many vertices are there?

•How to identify each vertex?

•Simplex method就是为了解决这个问题而产生的。•Simplex method能够很好地生成并管理可行解集合的顶点。•Simplex method is a way to generate andmanage the vertices of the feasible solution set, which is a polyhedral set.