理解多面集表示定理的等号

设 S = {x|Ax = b, x ≥ 0}  为非空多面集

这是我的老师在多面集表示定理中设立的定义。

在此前的课程中，对多面集（体）的定义是 有限个半空间的交：

{x|Ax ≤ b}

所以不理解在多面集表示定理中，怎么就用等号了呢？等号表示的还能是多面体吗？

今天尝试用线性方程组的解空间来理解。

假设如下线性方程组

那么通解可以表达为

显然x1和x2组成的二维平面上的任意一个点都能构造出线性方程组的解，可以理解为解空间是一个平面。对于如上方程组的任意一个方程来说，解空间则可以理解为三维立体空间。

那么对应在最开始的定义中，令

S = {x|Ax = b, x ≥ 0} 表达的范围可以理解为半个平面，在列不满秩的情况下，S的范围都有无穷大，所以令它为多面集就可以理解了。

事实上，等号可以看作是大于等于和小于等于同时成立，显然是符合多面集定义的。