行列式及其运算和性质

最新推荐文章于 2025-03-08 23:07:23 发布

en大师兄

最新推荐文章于 2025-03-08 23:07:23 发布

阅读量2.7k

点赞数 5

分类专栏：线性代数文章标签：线性代数机器学习深度学习数据挖掘

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/shujin86/article/details/106739784

版权

行列式

特别注意，行列式虽然表达为一系列数字的数表，但是其本质式一个数，这个跟矩阵有本质的区别.

二阶行列式

$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

三阶行列式

$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\\ \space\\ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

全排列与逆序数

全排列(排列)：把n个元数排成一排，就叫做这n个数全排列(也称排列)

标准排列：先规定n个元素的一个先后次序标准，称这个排列为标准排列

逆序数：当排列中的两个元素的先后顺序与标准排列的先后顺序不同时，则元素有1个逆序，一个排列所有逆序之和则为逆序数

奇排列:逆序数为奇数的排列称为奇排列

偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列

n阶行列式

n阶行列式：

$D_n= det(a_{ij})= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}\\$

$=\sum_{(j_1,j_2,j_3...j_n)}(-1)^{t(j_1,j_2,j_3...j_n)}a_{1j}a_{2j}a_{3j}...a_{nj}$
其中： $t(j_1,j_2,j_3...j_n)$ 为 $j_1,j_2,j_3...j_n)$ 的逆序数， $\displaystyle\sum_{(j_1,j_2,j_3...j_n)}$ 表示所有可能的n级排列之和
。行列式 $D$ 可以简记为 $det(a_{ij})$ ,其中 $a_{ij}$ 表示行列式 $D$ 的 $(i, j)$ 元。

行列式的性质

性质1：行列式与其转置行列式相等。

例如：
$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\\$
$D^T= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{21}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{vmatrix}\\$

最低0.47元/天解锁文章