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- 行列式的性质
- 行列式与它转置行列式相等
- 对换行列式的两行(列),行列式变号
- 推论:如果有两行(列)完全相同,则此行列式等于零
- 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以数
k
k
k,等于用数
k
k
k乘此行列式
- 推论:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子以提到行列式记号的外面
- 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零
- 若行列式中的某一行(列都是两数之和),例如第
i
i
i行的元素都是两数之和:
D = ∣ a 11 a 12 . . . a 1 n . . . . . . . . . . . . a i 1 + a i 1 ′ a i 2 + a i 2 ′ . . . a i n + a i n ′ . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a{12} & ... & a_{1n} \\ ...&...&...&...\\ a_{i1}+a_{i1}'&a_{i2}+a_{i2}'&...&a_{in}+a_{in}'\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11...ai1+ai1′...an1a12...ai2+ai2′...an2...............a1n...ain+ain′...ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
则D等于下列两个行列式之和
D = ∣ a 11 a 12 . . . a 1 n . . . . . . . . . . . . a i 1 a i 2 . . . a i n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 . . . a 1 n . . . . . . . . . . . . a i 1 ′ a i 2 ′ . . . a i n ′ . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}'&a_{i2}'&...&a_{in}'\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11...ai1...an1a12...ai2...an2...............a1n...ain...ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11...ai1′...an1a12...ai2′...an2...............a1n...ain′...ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
- 把行列式的某一行(列)的各元素乘同一行加到另一行(列)对应元素上去,行列式不变
- 引理
一个 n n n阶行列式,如果其中第 i i i行所有元素除 ( i , j ) (i,j) (i,j)外都为零,那么这个行列式等于 a i j a_{ij} aij与它的代数余子式的乘积即
D = a i j A i j D=a_{ij}A_{ij} D=aijAij
- 定理:行列式展开法则
D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + . . . + a i n A i n , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in} ,(i=1,2,...,n) D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin,(i=1,2,...,n)
D = a i j A i j + a 2 j A 2 j + . . . + a n j A n j , ( j = 1 , 2 , . . . , n ) D=a_{ij}A_{ij}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj} , (j=1,2,...,n) D=aijAij+a2jA2j+...+anjAnj,(j=1,2,...,n)
- 推论
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
即
a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + . . . + a i n A j n = 0 , i ̸ = j a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn}=0,i\not=j ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=0,i̸=j
a 1 i A 1 j + a 2 i A j 2 + . . . + a n i A n j = 0 , i ̸ = j a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{j2}+...+a_{ni}A_{nj}=0,i\not=j a1iA1j+a2iAj2+...+aniAnj=0,i̸=j
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