线性代数（2）行列式6种运算性质

来自B站《猴博士爱讲课》，摘取行列式6种常用的运算性质

1.对角线x，其余a

$$\left[\begin{array}{cccc}x& a& \cdots & a\\ a& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a& a& \cdots & x\end{array}\right]=(x-a{)}^{n-1}[x+(n-1)a]$$

• 矩阵特点：n行n列，除对角线均是x外，矩阵其他数均是a
• 实例：
  对于矩阵$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 3\\ 3& 2& 3& 3\\ 3& 3& 2& 3\\ 3& 3& 3& 2\end{array}\right]$，这里$x=2;a=3;n=4$代入公式得$(2-3{)}^{4-1}[2+(4-1)3]$,化简得-11。

2.矩阵内两行（列）等比矩阵为0

（1）矩阵内两行（列）相同或者成比例时，矩阵为0
（2）某行（列）为两项相加减时，行列式可拆成两个行列式相加减

• 实例
  对于$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 5& 6& 8\end{array}\right]$，由于$r_2=2r_1$，因此此矩阵为0.

3.某行（列）为两项加减的时，可拆成两个行列式加减形式

• 实例
  已知$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right]=1$，求$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& a_1+c_1\\ a_2& b_2& a_2+c_2\\ a_3& b_3& a_3+c_3\end{array}\right]$?
  由上述行列式加减的性质，可将原式拆成两个行列式相加的形式，则原式$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& a_1+c_1\\ a_2& b_2& a_2+c_2\\ a_3& b_3& a_3+c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& a_1\\ a_2& b_2& a_2\\ a_3& b_3& a_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right]$，由于前面矩阵$c_1=c_3$，因此为0；后面的矩阵是已知的，因此，最终结果就是1。

4.求余子式(M)、代数余子式(A)

• 余子式（M），求$M_{xy}$就是去掉矩阵的x行y列后剩下的数重组矩阵
• 代数余子式（A），$A_{xy}=(-1{)}^{x+y}\ast M_{xy}$
• 实例
  求矩阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 5& 6& 8\end{array}\right]$$M_{23}$和$A_{23}$？
  去掉第2行第3列后得到新矩阵$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right]$，求得结果为-4。
  $A_{23}=(-1{)}^{2+3}\ast M_{23}=(-1)\ast (-4)=4$

5.多个余子式或代数余子式加减

已知$D=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$，求$3A_{11}+2A_{12}$?
求A步骤：
1.找到$A_{xy}$对应位置，这里是1行1列的1和1行2列的2的位置
2.将A前的系数替换到对应的位置形成新的行列式
这里，新的行列式是$\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$
3.求新生成行列式的值即得到最终结果
$\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=3\ast 4-3\ast 2=6$
这里用直接计算A的方式验证一下：
$M_{11}=4$，$A_{11}=(-1{)}^{1+1}\ast 4=4$
$M_{12}=3$，$A_{12}=(-1{)}^{1+2}\ast 3=-3$
$3A_{11}+2A_{12}=3\ast 4+2\ast (-3)=6$

求M步骤：
因为$A_{xy}=(-1{)}^{x+y}\ast M_{xy}$，因此可通过该式将$M_{xy}$转换成$A_{xy}$，再按照求代数余子式的方法进行计算。
示例：
已知$D=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$，求$3M_{11}+2M_{12}$?
因为$A_{11}=(-1{)}^{1+1}\ast M_{11}$,所以$M_{11}=A_{11}$
因为$A_{12}=(-1{)}^{1+2}\ast M_{12}$,所以$M_{12}=-A_{12}$
所以原式$3M_{11}+2M_{12}=3A_{11}-2A_{12}$
所以新行列式$\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 3& 4\end{array}\right]=3\ast 4-(-2)\ast 3=18$
直接代入$M_{xy}$验证，原式$3M_{11}+2M_{12}=3\ast 4+2\ast 3=18$，得到同样的结果。

6.给一个方程组，判断其解

判断$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=0\\ 4x_1+5x_2=0\end{array}$是否有唯一解。
判断依据：

方程组	$D̸=0$	$D=0$
齐次	只有一组零解	有零解与非零解
非齐次	只有一组非零解	有多个解或者非零解

注：
齐次是指方程组除了带x的项和0项，没有常数项
非齐次则是方程组除了带x的项，还有常数项
零解是指方程的解是0

原式$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=0\\ 4x_1+5x_2=0\end{array}$没有常数项，又：$D=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right]=-3̸=0$，根据上表可知原式只有一组零解